Fractale kettingreactie op Wall Street

In 1963 bestudeerde de Franse wiskundige Benoit Mandelbrot in het laboratorium van IBM de prijsveranderingen op de katoenbeurs van New York. Net als veel anderen wilde hij onderzoeken of er enige orde te ontdekken was in de schijnbaar willekeurige variaties.

Uit zijn analyse bleek dat de prijzen weliswaar op volstrekt onvoorspelbare wijze veranderden, maar dat de dagelijkse en maandelijkse prijsveranderingen een bijna identiek gedrag vertoonden. En dat over een tijdvak van zo'n zestig jaar.

Later zouden deze en andere observaties Mandelbrot tot de ontdekking van de fractalen brengen, intrigerende wiskundige objecten die inmiddels bijna gemeengoed zijn geworden: iedereen kent wel de prachtige krullen en spiralen die er het resultaat van zijn. Maar fractalen bieden meer dan mooie plaatjes. Zo worden ze de laatste tijd ook weer ingeschakeld op het terrein waar Mandelbrot ze meer dan dertig jaar geleden ontdekte: de beurs. Want nog altijd verlokken de prijscurves van de aandelen op Wall Street velen tot ingewikkelde analyses. Wie ook maar enigszins in staat is op grond van de gegevens van gisteren een voorspelling te doen over de koersen van morgen, mag zich immers rijk rekenen.

Dat zoiets echter niet eenvoudig is, zal duidelijk zijn. Onlangs werd dat in Nature nog eens onderstreept door het werk van een groep Duitse en Zwitserse fysici. Zij ontdekten een verrassende overeenkomst tussen het verloop van de wisselkoersen en de stroming van gassen en vloeistoffen (Nature, 27 juni 1996, pagina 767). Uit een lijst van bijna anderhalf miljoen vraag- en aanbodprijzen voor transacties tussen dollar en Duitse mark, die zich tussen 1 oktober 1992 en 30 september 1993 op de Foreign Exchange Market hadden afgespeeld, werden de fluctuaties op zowel korte (minuten) als lange termijn (dagen) gedestilleerd. Aan de hand daarvan konden kansverdelingen worden berekend, die aangeven hoe waarschijnlijk het is dat een prijs binnen bijvoorbeeld vijf minuten met een bepaalde waarde fluctueert.

Snelheidsverschillen

Deze kansverdelingen bleken als twee druppels water te lijken op curves die de stroming van vloeistoffen en gassen beschrijven, namelijk de verdeling van snelheidsverschillen tussen twee punten in een turbulente stroming. In zo'n stroming vindt voortdurend een herverdeling van energie plaats: grote wervelingen (van de orde van vele tientallen tot duizenden meters) vallen uiteen in kleinere, totdat uiteindelijk de energie als warmte op moleculair niveau wordt gedissipeerd. Een soortgelijke hiërarchie zou de financiële markten kenmerken. Handelaren die op lange termijn werken beïnvloeden de short-term traders, die de markt van minuut tot minuut in de gaten houden.

Zo op het eerste gezicht zou de overeenkomst met een fysisch proces als turbulentie iets meer inzicht kunnen bieden in de wanorde die de koersen lijkt te kenmerken. Maar dat is maar zeer ten dele waar. Om de stroming van gassen en vloeistoffen te beschrijven is weliswaar een verzameling vergelijkingen beschikbaar - de zogenaamde Navier-Stokes vergelijkingen - maar die zijn niet exact (analytisch) oplosbaar. Turbulentie is dan ook nog altijd een grotendeels onbegrepen fysisch fenomeen. Het is bovendien niet waarschijnlijk dat een soortgelijke, beknopte verzameling vergelijkingen gevonden zal worden voor gebruik op de beurs.

Moleculen lezen geen kranten. Ze volgen harde fysische wetten en zijn in die zin beter voorspelbaar dan handelaren op de beurs. Toch bestaat er binnen de financiële wereld volop belangstelling voor de kennis en kundes van fysici, ingenieurs en wiskundigen. Blijkbaar is daar het besef doorgedrongen dat een wat meer wetenschappelijke aanpak misschien zo slecht nog niet is. Zo zijn er inmiddels talloze kleine bedrijven die hun diensten aanbieden aan banken en pensioenfondsen. Een van de eerste op dat gebied was de Prediction Company van chaos-goeroes Norman Packard en Doyne Farmer. Eind jaren zeventig deden zij met een aantal anderen al pogingen om de bank in Las Vegas te laten springen met behulp van een in een schoen verstopte computer, en na vervolgens de chaos-theorie te hebben geïntroduceerd, proberen ze deze nu toe te passen op koersvoorspellingen. Hun simpele stelregel is dat iets wat zich chaotisch gedraagt, op de korte termijn best redelijk te voorspellen is. Ze hebben inmiddels een exclusief contract af weten te sluiten met een grote Zwitserse bank. En gezien de van oudsher afwachtende en voorzichtige houding die financiële instellingen daar kenmerkt, moet er dus inmiddels wel enig succes zijn behaald. De oprichters wensen zich daar vanzelfsprekend niet over uit te laten.

Maar ook op Wall Street zelf is er tegenwoordig voor een net gepromoveerde fysicus veel geld te verdienen. Als quant - jargon voor quantitative analyst, iemand die wiskunde en statistiek gebruikt om de beurs te voorspellen - kan een creatief persoon met een scherpe, analytische geest en computerervaring een aanvangssalaris van al gauw zo rond de $100.000 tegemoet zien. Een prettig vooruitzicht dus voor Keith Still, een 'doodgewone' graduate student (AIO) aan Warwick University in Engeland. Voor zijn promotieonderzoek hield hij zich bezig met modellen van grote groepen mensen. Wat gebeurt er wanneer een voetbalstadion leegloopt, of hoe verloopt het spitsuur op een druk metrostation? Still vermoedde dat wanneer dergelijke mensenmassa's een kritische grootte te boven gaan, ze zich heel voorspelbaar zouden beginnen te gedragen. Bij het modelleren ervan maakte hij gebruik van een speciaal soort fractalen, die hij orchideeën noemt: “Wanneer individuen zich in een groep voortbewegen, maken ze niet alleen ruimte voor zichzelf, maar creëren ze tegelijkertijd plaats voor anderen. Dit proces heeft een dynamische fractale structuur, en kan worden beschreven met een simpel wiskundig model.”

De orchidee-fractalen vormen de basis van dit model waaraan ook nog een zekere hoeveelheid ruis wordt toegevoegd in de vorm van variaties in snelheid, richting en 'afmetingen' van individuen. Om hiervan een goede inschatting te kunnen maken bestudeerde Still urenlang videobeelden van grote evenementen in onder andere het Wembley Stadion. Het uiteindelijke simulatieprogramma dat hij ontwikkelde, LEGION, is ongelofelijk krachtig. Niet voor niets noemt Still noemt het zelf een fractale kettingreactie.

Een simulatie van een menigte van zo'n 60.000 mensen loopt op de computer bijna even snel als in werkelijkheid, en er wordt hard gewerkt aan een programma dat zelfs 250.000 mensen aan kan. De huidige versie is echter al in staat gebleken om de totale 'leeglooptijd' na een concert van Bon Jovi tot op een halve minuut nauwkeurig te voorspellen. Met dergelijke software kan bijvoorbeeld de veiligheid van gebouwen worden beproefd wanneer deze alleen nog maar op papier bestaan. Probleemgebieden in geval van plotselinge evacuatie kunnen zo op tijd worden geïdentificeerd.

Orchidee-fractalen

Nadat Still en zijn programma in de Verenigde Staten op televisie waren geweest, kwam hij in contact met een quant uit Los Angeles, die Still vier floppies met wisselkoersdata stuurde: “Als je het met mensenmenigtes kunt, kun je het vast ook hiermee.” Tot zijn eigen verbazing bleken ook de wisselkoersen met behulp van orchidee-fractalen te kunnen worden beschreven. Zo kon hij aan de hand van uiterst geringe fluctuaties (jitter) grote pieken en dalen in de dollar-yen wisselkoers ongeveer een maand van te voren voorspellen.

Hij analyseerde vervolgens de data van vijf opeenvolgende jaren en ontdekte dat zijn model de grootste veranderingen in twee-derde van de gevallen kon voorzien. Vorige maand vloog Still op uitnodiging van investeerders naar Florida om iets meer over zijn systeem te vertellen. Toch moet er volgens hem nog veel research gedaan worden voor er echt mee kan worden gewerkt. Tot die tijd houdt hij het basisalgoritme echter zorgvuldig geheim.

Een hoofdwet van de economie luidt dat het geen zin heeft om voorspellingen te doen in een markt die informatie efficiënt en instantaan verwerkt: alles wat relevant is voor de toekomstige waarde van bijvoorbeeld aandelen zou al in de huidige koers zijn verwerkt en het zou daarom onmogelijk zijn om vast te stellen dat een bepaald aandeel vandaag een betere investering vertegenwoordigt dan morgen. De van tijd tot tijd grote fluctuaties laten echter zien dat psychologische factoren en hypes als de belangstelling voor biotechnologie of het Internet een belangrijke rol spelen. Ondanks de enorm hoge informatiedichtheid van het wereldomspannende financiële netwerk lijkt de markt dus niet helemaal willekeurig te zijn en zullen er daarom altijd mogelijkheden blijven bestaan die Keith Still en anderen in staat stellen om straks die ene grote klapper te maken.