De wiskunde van de duiventil

Caleidoscoop van de Wiskunde, onde redactie van A.W. Grootendorst en A.J. van Zanten, Delftse Universitaire Pers 1995, ISBN 90-407-1122-4, prijs ƒ 35,-. Kaleidoskoop van de Wiskunde 1, onder redactie van F. van der Blij, J.P. Hogendijk en F. Oort, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 1990, ISBN 90-5041-023-5, prijs ƒ 34,50.

Sinds het Nationaal Dictee weten we allemaal dat je caleidoscoop met twee c's schrijft. De kort geleden verschenen Caleidoscoop van de Wiskunde (Delftse Universitaire Pers) heeft dus een juist gespelde titel, en de al wat oudere Kaleidoskoop van de Wiskunde van uitgeverij Epsilon niet. Beide bundels zijn uitwerkingen van colleges voor eerstejaarsstudenten wiskunde, respectievelijk aan de universiteiten van Delft en van Utrecht.

Haast iedere wiskundefaculteit heeft wel zo'n serie. De bedoeling ervan is de studenten een idee te geven van waar het in de wiskunde nu eigenlijk om draait, want op school krijgen ze daarvan vaak een vertekend beeld. Eigenlijk is de wiskunde een beetje het slachtoffer geworden van z'n eigen succes. Er zijn zo veel toepassingen, dat toepassingsgerichtheid tegenwoordig vaak als de belangrijkste bestaansgrond van de wiskunde op school wordt gezien. Vroeger was dat anders: toen lag de nadruk vooral op de algemeen vormende waarde: in de euclidische vlakke meetkunde, één van de twee hoofdbestanddelen van de oude schoolwiskunde, leerde je redeneren en bewijzen. Het was een soort hogere hersengymnastiek, een intellectueel spel dat volgens strenge regels gespeeld werd.

Deductief speelterrein

De meetkunde als deductief speelterrein heeft echter het veld moeten ruimen. Wat er nu nog op school aan meetkunde wordt gedaan, is vooral exploratief van karakter. Het is 'kijkmeetkunde' geworden, bewijzen komen er niet meer aan te pas. Wiskunde B bestaat verder vooral uit differentiaal- en integraalrekening en alles wat daarbij komt kijken. Een serie nuttige technieken met tal van toepassingen die het beste als een trucendoos onderwezen kan worden. Iedereen kan ze met wat vlijt onder de knie krijgen, inzicht is er niet voor nodig. En helaas is dat dan ook precies wat er in veel gevallen in de klas gebeurt, met als gevolg dat op het eindexamen de hel losbreekt als er toevallig eens een vraag voorkomt die wat afwijkt van het handjevol uitentreuren geoefende standaardkunstjes.

Natuurlijk is dit wat karikaturaal voorgesteld, maar een kern van waarheid zit er toch wel in. Wijd verbreid is het beeld van de wiskunde als een dor vak zonder uitdagingen of nieuwe ontwikkelingen, vol verstofte, stokoude formules waar kraak noch smaak aan zit. Daartegen wordt gelukkig ook heel wat weerwerk geboden door fantastische docenten die hun leerlingen in de klas en daarbuiten wèl met echte wiskunde laten kennismaken. In de eerste plaats natuurlijk door de stof wel degelijk op een 'wetenschappelijke' inzichtelijke manier te behandelen. Maar ook door ze te laten meedoen aan de Wiskunde Olympiade voor de hoogste klassen, of de Kangoeroewedstrijd voor de onderbouw. Of door ze in contact te brengen met de wiskundeclubs en de zomerkampen van de stichting 'Vierkant voor Wiskunde', het tijdschrift Pythagoras, of de masterclasses en andere activiteiten die universiteiten speciaal voor scholieren organiseren.

Het gaat daarbij altijd om creativiteit en originaliteit, om intellectuele uitdagingen. Om het willen weten hoe het nu echt zit. Dat geldt natuurlijk niet alleen voor wiskunde, maar voor alle wetenschap. 'Ik hecht geen geloof aan wie zich op gezag beroept', die lijfspreuk van Christiaan Huygens zou iedere wetenschapper ingelijst boven zijn bureau moeten hebben hangen. En ook iedere leraar op het VWO, want dat is niet voor niets het voorbereidend wetenschappelijk onderwijs. Een docent moet niet alleen het hoe vertellen, maar vooral het waarom. Hij moet kritische vragen aanmoedigen, achtergronden en structuren blootleggen. In de wiskunde resulteert dat uiteindelijk in definities, stellingen en bewijzen als de kroon op het werk. Niet omdat de leraar graag hoogstandjes laat zien, maar omdat dit de aangewezen manier is om kennis te structureren en inzicht te verwerven. Op de universiteit wordt het meest geklaagd over studenten die vragen of ze bepaalde formules mogen toepassen en daarbij slechts geïnteresseerd zijn in het antwoord ja of nee, en niet in de rechtvaardiging ervan.

Terug naar de twee caleidoscopen van de wiskunde. Die geven inderdaad een heel ander beeld van het vak, niet alleen in de presentatie, maar ook in het bereik. De meest uiteenlopende gebieden komen aan de orde, waarbij het opvalt dat de Delftse bundel eigenlijk veel minder toepassingsgebieden aanroert dan die uit Utrecht. Kennelijk gaan ze er in Delft van uit dat de toekomstige wiskundige ingenieurs later nog genoeg toepassingen zullen tegenkomen. Hun caleidoscoop begint met een stuk van J.M. Aarts over het Vierkleurenprobleem, of zoals sommigen zeggen, de Vierkleurenstelling. Die houdt in dat je bij elke landkaart de landen met vier kleuren zó kunt kleuren, dat aangrenzende landen nooit dezelfde kleur krijgen.

Karakteristiek voor de wiskunde is dat je eerst precies moet definiëren waar je het over hebt: wat is precies een 'landkaart', wat is een 'land', wat zijn 'aangrenzende landen'? Als je dat gedaan hebt, begint het echte probleem, het bewijzen van de stelling. Want een stelling is het, maar wel een heel uitzonderlijke. Er is namelijk nog steeds geen bewijs gevonden dat geen computerhulp gebruikt. In 1976 hadden Appel en Haken aangetoond dat het bewijs van de vierkleurenstelling kon worden teruggebracht tot het onderzoek van zo'n tweeduizend afzonderlijke configuraties. Met de hand zou dat ondoenlijk zijn, maar computers hebben daar geen moeite mee. De uitslag, inmiddels door velen onafhankelijk van elkaar geverifieerd, is dat het inderdaad klopt.

Onschuldig

Het vierkleurenprobleem is een voorbeeld van een vraagstelling die er heel elementair en onschuldig uitziet, maar waarvan de oplossing vooralsnog duivels gecompliceerd is. Ook de laatste bijdrage aan de Delftse bundel, die van A.J. van Zanten, bevat een heleboel van die ogenschijnlijk simpele vraagstukken. Het gaat over Ramsey-theorie, een onderdeel van de wiskunde dat je, oneerbiedig, de kunst zou kunnen noemen van het verstandig tellen. Het simpele basisprincipe ervan kun je illustreren aan de hand van een duiventil. Als er meer duiven naar binnen zijn gevlogen dan er afzonderlijke hokjes zijn, dan moet er minstens één hokje zijn waarin zich minstens twee duiven ophouden.

Simpel en vanzelfsprekend, maar dit pigeon hole principle is wel de basis van een uitgebreid onderzoeksterrein vol onopgeloste vragen. Een frivole toepassing is dat er in Delft minstens twee niet-kale mensen rond moeten lopen met precies evenveel haren op hun hoofd. Zijn er geen andere, meer praktische toepassingen te vinden? Natuurlijk wel, maar wiskundigen vinden het soms leuk om bizarre voorbeelden te kiezen om er abstracte resultaten mee te illustreren. Als het instrumentarium ontwikkeld is, komen de serieuze toepassingen vanzelf, meestal uit een volkomen onverwachte hoek.

De Delftse caleidoscoop bevat verder nog hoofdstukken over kettingbreuken, ontbinden in factoren, de meetkundige algebra bij de oude Grieken, Dedekindsneden, Hilbertmatrices en quaternionen. Allemaal intrigerende vaktermen; wie er het fijne van wil weten, leze de bundel.

De Kaleidoskoop uit Utrecht is al weer wat langer op de markt (1990). Het spectrum ervan is iets breder, en de onderwerpen worden vaak ook met wat meer diepgang behandeld. Aan de 'zuivere' kant vinden we fraaie stukken van F. Oort over priemgetallen en F. van der Blij over iteratie en chaos. Ook het stuk van P.H.W. Lemmens onder de titel 'Wat is een kromme?' zal onverwachte vergezichten openen. De toepassingen zijn vertegenwoordigd door stukken van R.W. Bruggeman over wiskunde in de populatiegenetica, R.D. Gill over toegepaste statistiek, en een wat meer voorkennis vragende bijdrage van E.J.M. Veling over grondwaterstromingsproblemen. In het tussengebied zou je dan de stukken kunnen plaatsen van J.D. Stegeman over een vreemd verschijnsel bij Fourierreeksen, H.J.J. te Riele over de Riemann hypothese en J.P. Hogendijk over Babylonische astronomie.

Het is opvallend dat de twee caleidoscopen eigenlijk nauwelijks overlap vertonen. Dat illustreert eens te meer hoe breed de wiskunde zich ontwikkeld heeft en nog steeds ontwikkelt. Het zou trouwens niet moeilijk zijn nog een stuk of tien andere onderwerpen te noemen die in zo'n caleidoscoopcyclus een plaats zouden kunnen vinden. De Utrechtse bundel heet ook eigenlijk Kaleidoskoop van de Wiskunde 1, suggererend dat er nog meer zullen komen. Tot nu toe zijn ze er nog niet, maar wie weet. In elk geval kan de gelukkige bezitter van een wiskundeknobbel met deze twee bundels al heel wat inspirerende uren doorbrengen.

    • Jan van de Craats