De kunst van het schrikkelen

Schrikkeldagen zijn een hulpmiddel om de duur van het jaar in dagen te benaderen. In de Gregoriaanse kalender, sinds 400 jaar in gebruik, zijn de verdere correcties onnauwkeurig en nodeloos omslachtig. Een alternatief: de post-Metonische kalender.

In de vroeg-Christelijke kerk werd met hartstocht getwist over de wijze waarop de datum voor het Paasfeest bepaald moest worden. Om een eind aan deze onenigheid te maken, werd in het jaar 325 op het concilie van Niceae bepaald dat Pasen voortaan zou worden gevierd op de eerste zondag volgende op de volle maan na of op de dag van de lente-evening. De lente-evening is de datum in het voorjaar, 21 maart, dat dag en nacht even lang duren. Deze regel brengt drie cycli in het geding met periodes die niet op elkaar deelbaar zijn: de week, de cyclus van schijngestalten van de maan en als derde de omlooptijd van de aarde om de zon, het zonnejaar.

Zonder twijfel waren de kerkvaderen die aan het concilie deelnamen even verstandig als godvruchtig, maar toch mogen we ons afvragen of ze wisten welke enorme moeilijkheden de door hen uitgevaardigde regel zou oproepen. Om duidelijk te maken hoe groot die problemen waren moeten we eerst deze drie cycli bezien, en ook iets van de vroegere kennis van de astronomie.

Ook in de Oudheid wist men al dat de dagelijkse draaiing van de aarde om haar as kan worden vergeleken met die van een pottenbakkerswiel. Als iemand zijn uitgestoken vinger tegen de velg van een draaiend wiel drukt, beschrijft deze een cirkel zoals een ster in de loop van de nacht aan het hemelgewelf. Ook al is voor een luni-solaire kalender - dat is er een waarin de cycli van zowel de zon als de maan een rol spelen - de loop van de sterren niet van onmiddellijk belang, de zon en de maan beschrijven dagelijks soortgelijke banen, zij het dan met verschillende gemiddelde omloopsnelheden.

Bovendien wordt bij het vaststellen van kalenders altijd aangenomen dat de omloopsnelheden van zon en maan constant zijn, net zoals die van de sterren. De afwijkingen van het gemiddelde binnen een omloop van de zon of de maan worden buiten beschouwing gelaten bij het opstellen van een kalender. Daarentegen tracht men terugkerende verschijnselen zo nauwkeurig mogelijk, en voor zo lang mogelijke duur, te benaderen in perioden van gehele aantallen dagen. Het eerste probleem dat we bekijken betreft de aanpassing van de jaarcyclus aan de dag; dit speelde in de Oudheid al een rol.

De 'middelbare zonnedag' waar mee gerekend wordt is de gemiddelde duur van een zonsomloop aan de hemel, die gelijk is aan 86.400 seconden. Het 'zonnejaar' waarin de aarde een omloop rond de zon volvoert duurt dan 365,2422 dagen of 31.556.926 seconden. We zien onmiddellijk dat 365 dag in het geheel geen slechte benadering is. Het is ook de eerste benadering die de 'kettingbreuk' levert. Deze door Christiaan Huygens bedachte rekenkundige techniek (zie kader) levert een reeks van steeds nauwkeuriger eenvoudige benaderingen van ingewikkelde breuken.

Die eerste benadering vinden we terug in de 'Juliaanse' kalender, zo genoemd naar Julius Caesar die deze in 46 voor Christus invoerde, bijgestaan door de Griekse astronoom Sosigenes. Deze Juliaanse kalender is ons vertrouwd omdat in dit systeem de gemiddelde lengte van 365 dag van het zonnejaar wordt benaderd door elk vierde jaar een schrikkeljaar te maken dat 366 dagen telt. Die benadering is heel oud; het nieuwe van de Juliaanse kalender was dat hij zuiver solair was, omdat Caesar er van afzag de maansomloop er in te betrekken, en dat schrikkeldagen de plaats innamen van schrikkelmaanden.

Van deze benadering van het jaar in dagen was al veel eerder, door Aristarchos van Samos (c310-c230 v Chr) opgemerkt dat dit geen exacte waarde was. Dit inzicht is in de vroege Middeleeuwen weer in vergetelheid geraakt, zoals dit ook gebeurde met het heliocentrische model van het zonnestelsel dat Aristarchos lang voor Copernicus voorstelde. In West-Europa heeft men nog met een kalenderjaar van exact 365 dagen gerekend tot de door paus Gregorius XIII ingevoerde kalenderhervorming van 1582.

De kettingbreuk-benaderingen voor de schrikkeljaren die volgen op de Juliaanse kunnen worden opgevat als correcties hierop. De benadering 8/33, bijvoorbeeld, kan eenvoudig worden verkregen door na elke zeven perioden van vier jaar waar een schrikkeljaar in valt, de achtste een duur van vijf jaar te geven. In de uitvoering van de benadering 31/128 moet eens in de 128 jaar, waarin volgens de Juliaanse regel 32 schrikkeldagen zouden vallen, er één van worden overgeslagen. De resterende benaderingsfout blijkt zeer klein te zijn.

De ontdekking van de benadering 8/33 voor schrikkeldagen in het jaar wordt aan de Perzische astronoom, wiskundige en dichter Omar Khayyam toegeschreven. Dit heeft niets onwaarschijnlijks, want in de Middeleeuwen was de ontwikkeling van de wetenschappen in het Islamitische cultuurgebied veel verder gevorderd dan in West-Europa. Omar Khayyam was een van de acht astronomen die rond 1079 AD van de sultan van Khorasan in Noordoost-Iran, Jelal ud-Din Malik Shah, opdracht kregen de kalender te hervormen. Zijn benadering is al iets nauwkeuriger dan die van onze Gregoriaanse kalender: de gemiddelde duur van het jaar is namelijk 19,5 seconde te lang in plaats van 26. Hij zal overigens zijn ontdekking niet met kettingbreuken, maar door proberen hebben gevonden: ook een niet geringe prestatie. Het is niet voor niets dat we in zijn Rubaiyat het volgende kwatrijn (in de vertaling van FitzGerald) vinden: Ah, but my Computations, People say, Reduc'd the Year to better reckoning? - Nay, 'Twas only striking from the Calendar Unborn To-morrow, and dead Yesterday De veranderende schijngestalten van de maan zijn een zo gemakkelijk en universeel voorhanden hulpmiddel voor tijdrekening dat een zuiver solaire kalender, zoals de Juliaanse, nooit populair is geworden. De gemiddelde duur van de cyclus van schijngestalten is de maanmaand of lunatie, die wordt gesteld op 29,53059 dag, of 2.551.443 seconden. Als referentiepunt in de cyclus wordt meestal nieuwe maan gekozen, wanneer de gehele onverlichte helft van onze hemelse begeleider naar ons toe is gekeerd.

De Griekse astronoom Meton - een medestander van Socrates - ontdekte ongeveer 430 jaar voor het begin van onze jaartelling dat na een periode van 19 zonnejaren, die volgens hem precies 6940 dagen duurde, de data van nieuwe maan in het jaar zich herhalen, en dat het aantal maanmaanden of lunaties dat in die periode verstreek precies 235 bedraagt. Deze waarnemingen zijn wel het chef-d'oeuvre van de Griekse astronomie genoemd.

Dionysius

Het belangrijkste is hier de benadering van 235 lunaties door 19 jaar, en daarin is de fout ook het kleinst. Dit aantal lunaties duurt 7.511 seconden langer dan 19 jaar, een relatieve fout van 12,5 op 1.000.000. Hoe klein deze fout ook lijkt, toch is ze te groot voor eeuwenlange toepassing in kalendercycli. In gecorrigeerde vorm wordt deze ontdekking van Meton nog steeds toegepast in de huidige Gregoriaanse kalender.

De relatieve fout in Metons andere benadering, die van het jaar in dagen, is 4 keer zo groot en ze is ruim 2 keer zo groot als die van de Juliaanse kalender. Het is dan ook geen wonder dat later door Calippus van Cyzicus, een Griekse astronoom die in de eerste helft van de vierde eeuw voor de jaartelling leefde, de Juliaanse 4-jarige schrikkeljaarperiode werd gecombineerd met Metons benadering van 235 lunaties in 19 jaar. Het resultaat was de 'Calippische' kalendercyclus van 4x19=76 jaar.

In de vierde eeuw na Christus is de gewoonte opgekomen de zevendaagse week in de tijdsindeling te betrekken, en volgens het voorschrift van het concilie van Niceae moet bij de berekening van de datum van Pasen dan ook met de dag van de week rekening worden gehouden. Daarbij kwam het probleem naar voren dat het aantal dagen van de week niet in de Calippische periode van 76 jaar paste.

In Alexandrië, dat in de zesde eeuw van onze jaartelling nog een belangrijk wetenschappelijk centrum was, berekende men daarom de datum van Pasen aan de hand van een cyclus waarvan de duur in jaren gelijk was aan het product van het aantal dagen van de week en het aantal jaren van de Calippische cyclus. Op deze wijze werd een cyclus met een periode van 7x76=532 jaar verkregen. Na een zo'n cyclus herhaalde de reeks van Paasdata zich weer. Dit was waarschijnlijk voor de kennis van die tijd wel de best denkbare methode om Paasdagen te berekenen.

Deze oplossing werd door de Romeinse abt Dionysius Exiguus overgenomen en als nieuwe kalender - tegenwoordig ook bekend als de kalender Oude Stijl - ingevoerd. Dit kon toevallig ook 532 jaar na de geboorte van Christus geschieden, maar Dionysius hielp dit toeval wel een handje met een kleine geschiedvervalsing, doordat hij die geboorte 4 à 5 jaar te laat stelde. Deze 'Dionysische' kalender is meer dan duizend jaar in gebruik geweest; pas in 1582 werd ze door de Gregoriaanse, of kalender Nieuwe Stijl vervangen.

De reden voor de vervanging was dat de cycli waar de Dionysische kalender op gebaseerd was, namelijk de Juliaanse van 4 jaar met 1 schrikkeljaar en de Metonische van 19 jaar met 235 lunaties, niet exact waren, alleen maar benaderend: dit gaf tot steeds grotere fouten aanleiding. De Engelse priester Beda ('the venerable Bede') had al omstreeks 730 opgemerkt dat de lente-evening ongeveer drie dagen vroeger viel dan ten tijde van het concilie van Niceae. Vijf eeuwen later merkte zijn landgenoot, de abt Johannes Sacrobosco (John Holywood) op dat dit ondertussen was opgelopen tot zeven of acht dagen.

Gregorius XIII

Na langdurige voorbereiding vaardigde paus Gregorius XIII ten slotte in 1582 een bul uit waarmee de naar hem genoemde kalenderhervorming van kracht werd. In deze Gregoriaanse kalender worden de Juliaanse jaarcyclus en de Metonische luni-solaire cyclus beide aangehouden, maar wel met een systeem van toegevoegde correcties dat door de Napolitaanse astronoom en pater jezuïet Aloysius Lilius was voorgesteld.

Maar Lilius overleed een jaar voor dat de kalenderhervorming van kracht werd. Zijn collega Christophorus Clavius, geboortig uit Bamberg, nam het werk over, voerde alle controlerende berekeningen uit en lichtte in 1603 de methode toe in zijn boek Romani Calendarii a Gregorio XIII. P.M. restituti Explicatio, dat ongeveer 800 bladzijden telt. Dit kalendersysteem werd hevig, maar zonder veel succes, aangevallen in de toen gebruikelijke, wat oververhitte controverse-stijl, waarbij ook de persoon van Clavius onder vuur kwam. De bestaande religieuze tegenstelling maakte ook dat het lang duurde voordat de Gregoriaanse kalender buiten de Katholieke staten in Europa werd geaccepteerd. Voor het gehele Duitse Rijk bijvoorbeeld werd dit pas in 1700 op de Rijksdag te Regensburg besloten. Engeland en zijn koloniën volgde in 1752 en Rusland pas in 1917.

De lengte van het Juliaanse kalenderjaar wordt volgens dit systeem drie maal in de 400 jaar aangepast aan het werkelijke zonnejaar door middel van de 'zonnecorrectie', die er uit bestaat in eeuwjaren de schrikkeldag over te slaan, uitgezonderd díe eeuwjaren waarvan het eeuwgetal door 4 deelbaar is. De zonnecorrectie wordt dus toegepast in de jaren 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, 2500, enz., die alle een februarimaand van 28 dagen bezitten. Het jaar tweeduizend valt daar buiten en is dus een schrikkeljaar.

Voor de berekening van de Paasdatum werd het begrip 'epact' ingevoerd. Dit is het aantal dagen na nieuwe maan, de zogenaamde 'ouderdom' van de maan, aan het begin van het jaar. De epacten doorlopen van jaar tot jaar een cyclus, waar een vermindering ter grootte van 1 dag in optreedt in een jaar waarin de zonnecorrectie valt. Wat betreft de lunatiecyclus wordt in de Gregoriaanse kalender op analoge wijze 8 maal in de 2500 jaar een 'maancorrectie' van 1 dag op de epactencyclus aangebracht, nu een vermeerdering. Dit gebeurt zeven keer na een periode van 300 jaar en een keer na 400 jaar. De maancorrecties vallen in de jaren: 1800, 2100, 2400, 2700, 3000, 3300, 3600, 3900, gevolgd door een periode van 400 jaar, dus in 4300, daarna weer in 4600, 4900, enzovoort. Deze maancorrecties veranderen de datum niet, ze corrigeren alleen maar de ouderdom van de maan volgens de kalender. Wat dit laatste aspect betreft zijn er jaren, zoals 2100 en 2700, dat die twee correcties elkaar opheffen.

Een weinig elegant systeem: niet alleen vergt het doorlopen van de beide cycli van correcties tezamen een lange periode van 100.000 jaar, maar bovendien veroorzaakt het aanbrengen van de correcties in alleen eeuwjaren zó grote fouten, dat lang voordat deze periode verstreken is er correcties op de correcties moeten worden aangebracht. De Gregoriaanse correctie op de Juliaanse cyclus is de minst nauwkeurige. Deze correctie wordt drie maal in 400 jaar toegepast in plaats van eens in de 128 jaar: dit geeft een fout van een dag na ruim 3000 jaar.

Post-Metonisch

Een cyclus van 128 jaar waarin 1 Juliaanse schrikkeldag wordt overgeslagen leidt tot een uitzonderlijk nauwkeurige kalender, want ze is 46.751 dagen lang, met een rest van 128 seconden, dus gemiddeld 1 seconde per jaar. Nu is de lengte van de cyclus in gehele dagen uitgedrukt, niet deelbaar door zeven; we moeten dus, als we wensen dat ook de weekdagen zich na een cyclus herhalen, zo'n periode met het getal 7 vermenigvuldigen, zoals de Alexandrijnse astronomen dat deden met de cyclus van Calippus. Het resultaat is een cyclus van 7x128 = 7x2 = 896 jaar.

Via kettingbreuken is af te leiden dat er een benadering van het aantal lunaties in het jaar is, te weten 5541/448, die nauwkeuriger is dan de Metonische en een periode bezit die precies de helft is van de duur van de nauwkeurige zonnecyclus van 896 jaar. De aanpassing van de twee cycli is dus buitengewoon eenvoudig: de duur van de lunatiecyclus moet worden verdubbeld. De relatieve fout in deze nieuwe lunatiecyclus is 3,0 op 1.000.000, minder dan een kwart van de Metonische.

Dit opent de mogelijkheid van een alternatieve kalender met een periode van 896 jaar, die de Metonische cyclus voorbij gaat en daarom een luni-solaire post-Metonische kalender kan worden genoemd. De jaren van deze kalender, die we 'pMk'-jaren of 'pM'-kalenderjaren zullen noemen, zijn, zoals alle kalenderjaren, niet precies gelijk aan astronomische jaren, want die zijn in dit geval 1 seconde langer.

Het gehele aantal lunaties over een periode van 896 pMk-jaren bedraagt 11.082, en de ware duur daarvan is maar weinig langer: een dag en een paar minuten. Om een goede aanpassing aan de astronomische cycli van zon en maan te verkrijgen moeten we dus in een cyclus van 896=7x2 pMk-jaren, zeven keer, telkens na 128 jaar, een zonnecorrectie toepassen door een schrikkeldag over te slaan, en ook een maancorrectie, bijvoorbeeld door aan het begin van devolgende cyclus de ouderdom van de maan met een dag te verminderen; dit voegt een dag toe aan de cyclus wat betreft de lunaties. Een alternatief is telkens als de zonnecorrectie wordt toegepast, ook een maancorrectie aan te brengen door de ouderdom die de maan volgens de kettingbreuk-benadering bezit met 206 minuten te verminderen. In ieder geval zijn de resterende fouten zeer klein; die in de duur van het jaar is het grootste, deze cumuleert na 96 cycli van 896 pMk-jaren tot 1 dag.

We kunnen deze cycli vergelijken door ze in seconden uit te drukken, zoals in de bijgaande tabel over de post-Metonische kalendercycli. Afwijkingen binnen de pMk-cyclus worden tot een minimum beperkt door de strikte regelmaat waarmee de correcties kunnen worden toegepast. Omdat de lengte van de pMk-cyclus uit kettingbreuk-benaderingen volgt, is er ook geen kortere cyclus denkbaar die een nauwkeuriger benadering levert. Het aardige van deze luni-solaire kalendercyclus is dat ze niet alleen nauwkeuriger, maar ook eenvoudiger is dan de Gregoriaanse.

Als men deze post-Metonische kalender zou invoeren - en waarom niet? - kan het jaar waar de eerste 128-jaarlijkse zonnecorrectie in zou vallen als een veelvoud van dit getal worden gekozen; dit komt uit op 2048 (= 2, zeer toepasselijk voor ons binair rekenend digitale tijdperk). Maar het vervangen van de Gregoriaanse kalender door de meer nauwkeurige en eenvoudige post-Metonische kalender zou veel eerder kunnen gebeuren; het nieuwe millennium zou daarmee kunnen beginnen!

Kettingbreuken

Als we op de meest accurate wijze breuken met grote getallen in de teller of de noemer (of in beide) willen benaderen door eenvoudiger breuken waarin teller en noemer door kleinere gehele getallen zijn vervangen, kan dit rekenkundig het beste gebeuren door kettingbreuken toe te passen. Dit geeft niet alleen oplossingen voor kalenderbenaderingen, maar ook voor het daarmee verwante praktische probleem hoe gegeven overbrengingsverhoudingen met tandwielen te benaderen. Een kettingbreuk heeft de vorm: waarin a, b, ... enzovoort gehele getallen voorstellen die als quotiënten worden verkregen door een speciale manier van delen van de oorspronkelijke breuk. Aan de hand van een voorbeeld wordt deze wijze van delen toegelicht. Stel we willen het aantal dagen in het jaar, te weten 365,2422..., als een kettingbreuk schrijven. De eerste term, a = 365, zetten we apart. De kettingbreukbenaderingen van de restfractie 0,2422... geven aan hoe we met verschillende nauwkeurigheden, schrikkeldagen over de jaren kunnen verdelen. De opeenvolgende benaderingen worden verkregen door de breuk achtereenvolgens na de quotiënten b, c, ... enzovoort, af te breken. Het resultaat is de serie B: 4, . C: 7, 7/29. D: 1, 8/33. E:3, 31/128. F: 4, 132/545, ..., waarin telkens de rangorde en de waarden van qoutiënt en benadering zijn gegeven. Het volgende voorbeeld geeft het aantal lunaties in het zonnejaar, dat we verkrijgen door het aantal seconden in zo'n jaar door dat in een lunatie: 31.556.926/2.551.443 = 12,368.266.22... De opeenvolgende quotiënten en de bijbehorende benaderingen worden dan: A: 12, 12/1. B: 2, 25/2. C: 1, 37/3. D: 2, 99/8. E: 1, 136/11. F: 1, 235/19. G: 17, 4131/334, ..., waarin de zesde benadering F identiek is aan de Metonische. De relatie tussen opeenvolgende benaderingen in de reeks iluustreren we met de benadering G: 4131/334, die uit de twee voorafgaande, E en F, volgt door in de formule (136 + nx235)/(11 + nx19) voor n de waarde van het bijbehorende quotiënt, 17, in te vullen. Bijkomende, iets minder nauwkeurige benaderingen die aan speciale voorwaarden kunnen voldoen, verkrijgen we door voor n andere waarden dan die van het quotiënt te kiezen. In dit geval bijvoorbeeld de waarde 23: dit levert ons de benadering voor het aantal lunaties in het zonnejaar 5541/448, die een perfecte aanpassing aan de schrikkeljaarcyclus van 896 jaar mogelijk maakt door een verdubbeling. In zo'n periode vallen dan 2x5.541 = 11.082 lunaties.

Post-Metonische kalendercycli

896 zonnejaren = 28.275.005.696 sec

896 pMk-jaren = 28.275.004.800 sec

11.082 luminaties = 28.275.091.326 sec

896 pMk-jaren + 1 dag = 28.275.091.200 sec

896pMk-jaren + 7x206 = 28.275.091.320 sec