Meetkunde (4)

In reactie op de ingezonden brief van Ed. W.A. de Moor:

De mening van Ed W.A. de Moor in zijn reactie op het stuk van Brandt Corstius over onder meer Eulers bewijs (van de stelling dat hoogtepunt, zwaartepunt en middelpunt van een driehoek op een rechte lijn liggen), dat men voor dit bewijs moet weten dat de zwaartelijnen in een driehoek elkaar in stukken verdelen die de verhouding 2:1 hebben, is onjuist.

Het enige dat voor dit bewijs nodig is, is het besef dat de grote hulpdriehoek A'B'C' uit de driehoek ABC ontstaat door vermenigvuldiging met een (arbitraire) constante t.o.v. het zwaartepunt Z van ABC. Dientengevolge liggen alle overeenkomstige punten van de twee driehoeken én Z op een rechte. Omdat het hoogtepunt van ABC het middelpunt is van A'B'C' volgt onmiddellijk dat de genoemde drie punten op een rechte liggen. Tevens ligt het hoogtepunt van A'B'C' op deze rechte.

De verdeling van de zwaartelijnen van ABC, en daarmee de waarde van de vermenigvuldigingsfactor, vindt men als volgt: noem het voetpunt van de zwaartelijn van ABC uit A: V. Beschouw driehoeken VCZ en AC'Z.

BV = VC = C'A.

Dan geldt ook VZ = ZA.

    • A.J. Hoff