Meetkunde (2)

Enkele opmerkingen naar aanleiding van het leuke (en mooi vormgegeven) stuk van Brandt Corstius over 'eerlijke lijnen'.

Om het Euler-bewijs te begrijpen moet je wel weten dat de zwaartelijnen in een driehoek elkaar in stukken verdelen, die de verhouding 2:1 hebben.

De hoogtelijnstelling kan op allerlei andere manieren bewezen worden. Bijvoorbeeld door te laten zien dat ze de bissectrices zijn van de driehoek, die door de voetpunten van de hoogtelijnen gevormd wordt.

Om te onderzoeken of lijnen uit de hoekpunten van een driehoek door één punt gaan is door B.C. genoemde stelling van Ceva de nodige en voldoende voorwaarde. De verbindingslijnen van de hoekpunten met de raakpunten van de ingeschreven cirkel vormen zo'n drietal (het punt van Nagel). Dat je in de jaren vijftig op de Gemeentelijke Universiteit van Amsterdam daarover niks hoorde is niet juist. De door B.C. genoemde professor Heyting wees in zijn meetkunde -colleges vaak de verbanden met de elementaire meetkunde aan. Ook gaf hij soms aparte voordrachten over 'elementaire meetkunde vanuit hoger standpunt'.

De cruciale stelling van Ceva en haar pendant (de stelling van Menelaus) behoorden in de tijd van B.C. trouwens nog tot het middelbare schoolprogramma. Ze zijn - net als de hele oude planimetrie - verdwenen wegens hun geringe toepasbaarheid, maar vooral vanwege de toen haast pathologische sommencultuur.

Niettemin hebben de door B.C. genoemde redeneringen, zoals het middelloodlijnenbewijs, nog altijd een belangrijke intrinsieke waarde ten behoeve van wat Freudenthal het 'lokaal deductief redeneren' noemde. Dit element schijnt bij de nieuwere meetkundeprogramma's voor de bovenbouw opnieuw in beschouwing genomen te worden.

    • Ed. W.A. de Moor