Drie eerlijke lijnen snijden elkaar in één punt

Wie vlakke meetkunde bedrijft werkt met hulplijnen, spiegelingen en het vouwen, optillen en kantelen van driehoeken. 'Wiskunde is uitvinden. Grote vooruitgang komt altijd op ogenblikken dat iets niet waar is.'

Elke wiskundige is geniaal. Als hij niet geniaal meer is, moet hij wat anders gaan doen. Zo werd Alexander Rinnooy Kan bankier, Mient Jan Faber oorloghitser, Paul Verhoeven filmer, Philip Glass componist, Hans Ree schaker en columnist, en trekt Frits Bolkestein stemmen door de kinderen van illegalen van school te sturen. Ze zullen in hun nieuwe bezigheden misschien ook geniaal zijn, maar ik weet zeker dat ze veel liever de Knoop van Rinnooy Kan, de Faber-lijn of de Stelling van Verhoeven hadden uitgevonden en zo voor eeuwig beroemd zouden zijn geworden.

Ik ben vijftien jaar wiskundige geweest, van mijn tiende tot mijn zesentwintigste. Het begon in 1946 met een geniale bliksemflits, die uitliep op een teleurstellende donderslag. In 1948 maakte ik kennis met de domme kant van het schoolvak wiskunde. In 1953 ging ik wiskunde studeren, omdat ik voor dat vak tienen had, maar dat hadden alle andere wiskunde-studenten natuurlijk ook. In 1956 had ik een schijnbare vlaag van genialiteit en in 1961 verliet ik de wiskunde. Ik zal het u uitleggen aan de hand van de vlakke meetkunde, waar u altijd zo de pest aan had. (Zij die er niet de pest aan hadden gelieven het volgende niet te lezen.)

Vijftig jaar geleden zat ik in de hoogste klas van de lagere school. Mijn broer zat in de laagste klas van de middelbare school. Elke dinsdagmiddag schreef mijnheer Schaap vier sommen op het bord, uit oude toelatingsexamens voor de middelbare school. Daarbij was altijd een som waarbij je uit een verhaaltje de prijs van, bijvoorbeeld, een appel moest berekenen. Dat deed je door de prijs van een appel, tegen beter weten in, op tien cent te stellen. Je rekende dan wat en kreeg een ander resultaat dan in het verhaaltje stond. Je schoof de appelprijs dan zó ver van het dubbeltje af dat het juiste resultaat eruit kwam. Mijn omschrijving is onhandig en onbegrijpelijk, en dat was de methode ook. Ik klaagde er thuis over en mijn broer zei: “O, maar je moet de prijs van een appel x stellen, dan kan je een vergelijking opstellen en x uitrekenen.” Ik mocht zijn algebra-boek even inkijken. Er ging een wereld voor me open. Dat ik daar zelf niet op gekomen was!

De volgende dinsdag loste ik de som op met behulp van een x. Mijnheer Schaap zette er een vette streep door. “Dat leer je pas op het gymnasium. Op het toelatingsexamen moet je het op onze manier doen.” Op het toelatingsexamen van 1947 werd de prijs van een kadetje gevraagd. Ik wist wat een kadetje kostte. Een kadetje kostte, bij bakkerij Schat, bij banketbakkerij Stelling en bij bakkerij De Gooijer, vier cent. Ik vulde 4 cent in en het klopte. Ik loste vervolgens op een kladpapiertje met algebra het vraagstuk op en er kwam 4 cent uit. Toen stelde ik de prijs van een kadetje op veertig cent (met deze absurd hoge prijs wilde ik mijn afschuw van de methode tot uitdrukking brengen - natuurlijk zou een kadetje nooit van mijn leven veertig cent gaan kosten) en loste op de manier van mijnheer Schaap de som op. Ik heb daarna niet veel meer in algebra gezien. In de algebra is alles zoals je zou willen dat het was. Mijn liefde ging uit naar de meetkunde.

Toen mijn broer ging buitenspelen, sloop ik naar zijn kamer en gluurde in zijn meetkunde-boek. De drie bissectrices in een driehoek gaan door een punt! De drie zwaartelijnen in een driehoek gaan door een punt! De drie hoogtelijnen in een driehoek gaan door een punt! En je kunt die dingen nog bewijzen ook!

Ik besefte niet hoe ontzettend toevallig het is als drie lijnen door één punt gaan. Maar ik meende te begrijpen waarom de zwaartelijnen en de bissectrices dat deden. U weet misschien niet meer precies wat dat zijn en al helemaal niet waarom ze door één punt gaan.

Drie b-lijnen gaan door één punt

Een b-lijn, of bissectrice, of hoekdeellijn, verdeelt een hoek van een driehoek in twee gelijke delen. Maar, en dat zie je in als je aan een ijshoorntje denkt waar je ijsbolletjes, pingpongballen of knikkers in gooit, belangrijker is dat de punten op de b-lijn even ver af liggen van twee benen van de driehoek. Als de b-lijnen uit B en C elkaar snijden in het punt I, dan ligt dat punt I dus even ver van de lijn BA als van BC, en ook even ver van CB als van CA. Maar dan is de afstand van I tot AB ook even groot als die van I tot AC, dus gaat ook de b-lijn uit A door dat punt I, dat het middelpunt van de ingeschreven cirkel is.

Het bewijs van de b-stelling berust op een waarheid die iedereen kent: “Als twee dingen ieder gelijk zijn aan een derde ding, dan zijn ze ook aan elkaar gelijk.” Tien jaar later las ik dat Euclides dat in de helft van het aantal woorden zei: “ta tooi autooi isa kai allois estin isa” (de hetzelfde gelijke ook elkaar zijn gelijk).

Drie z-lijnen gaan door één punt

Een z-lijn, of zwaartelijn, is een lijn uit een hoekpunt die de zijde tegenover dat hoekpunt in twee gelijke helften deelt. Als je de driehoek van karton maakt, dan zijn de twee helften, waar een zwaartelijn de driehoek in verdeelt, even zwaar. Ik had een natuurkundig bewijs voor de stelling dat de drie z-lijnen door één punt gaan. Je kan de driehoek balanceren op een mes dat onder een zwaartelijn zit. Twee van zulke messen snijden elkaar in een punt, het punt Z, waar je een speld onder kunt zetten en waar de hele driehoek op in evenwicht blijft. Dus gaat ook de derde zwaartelijn door die speldepunt Z. Wiskundig gezien slaat deze redenering nergens op, maar ik vond het een halve eeuw geleden volkomen bevredigend, en eigenlijk nu nog.

Drie h-lijnen gaan door één punt

De hoogte van een berg is de diepte van het vertikale boorgat dat uit de top van de berg tot het aardoppervlak gaat. In een driehoek kun je uit elk hoekpunt een lijn trekken die loodrecht op de tegenover gelegen zijde staat: de hoogtelijn. Ik zag wel dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één punt H gaan, maar ik zag niet hoe je het bewijzen moest. Het schoolboek gaf dat bewijs niet. Albert Einstein noemde het “het eerste interessante meetkunde-bewijs” en Euclides zelf wist het in 300 voor Christus misschien wel maar bewijst het niet.

Ik lag in mijn bedje en dacht. Natuurlijk wilde ik de H-stelling bewijzen. Maar vooral wilde ik begrijpen hoe die drie stellingen over steeds drie lijnen in een driehoek die door één punt gaan, verwant waren. Wat hadden de b-lijnen, z-lijnen en h-lijnen gemeen? Dat ze steeds door een hoekpunt gingen, maar ook dat ze geen voorkeur hadden voor een van de andere twee hoekpunten. In hun definitie kwamen de twee andere hoekpunten op gelijke wijze voor. Ik vond de b-lijnen, z-lijnen en h-lijnen voorbeelden van eerlijke lijnen. Een lijn door hoekpunt A is een eerlijke lijn als hij weliswaar gedefiniëerd is met behulp van de punten B en C, maar zo dat er, als je B en C verwisselt, dezelfde lijn uitkomt. Tegenwoordig zou ik schrijven: een lijn door A is eerlijk als zijn definitie D zo is dat D(B,C)=D(C,B). Maar ik wist toen niet wat een functie was.

Het bewijs van de H-stelling kon even wachten. Ik wilde iets veel mooiers bewijzen, namelijk: “In een driehoek snijden de drie eerlijke lijnen door drie hoekpunten elkaar in één punt”. Een hoogtelijn was een eerlijke lijn, dus dan had ik de H-stelling ook bewezen. Een aangename hitte verwarmde mijn hersenpan. Ik had alleen nog maar een stelling, maar ik was ervan overtuigd dat hij waar was (misschien kunt u even ophouden met lezen en u afvragen of die stelling waar was).

Het zou mooi zijn als ik nog andere eerlijke lijnen bedacht dan de drie die het meetkunde-boek me had gegeven. Ik vond ze niet, en een halve eeuw later weet ik er nog geen.

Wel ontdekte ik iets over de manier waarop drie lijnen uit de hoekpunten die door één punt gaan, de zijden van de driehoek verdelen. Ik hoop dat die stelling een vorm was van de stelling van Giovanni Ceva, die in 1678 bewees dat het product van de drie quotiënten van de zijde-gedeeltes gelijk is aan 1. Maar daar had ik niks aan.

Drie m-lijnen gaan door één punt

Tegenover de b-lijnen, die door het middelpunt van de ingeschreven cirkel gaan, staan de drie m-lijnen die door het middelpunt M van de omgeschreven cirkel gaan. Deze middelloodlijnen zijn op net zo'n manier gedefiniëerd als de hoekdeellijnen en ze gaan ook om dezelfde reden van 'Twee aan een derde gelijken zijn zelf gelijk' door één punt. Maar het zijn natuurlijk geen eerlijke lijnen want ze beginnen niet in een hoekpunt.

Hoe ik het precies deed weet ik niet meer, maar die middelloodlijnen, die loodrecht staan op de drie zijden, doen natuurlijk sterk denken aan de drie hoogtelijnen, die dat immers ook doen. Ik tekende en rekende, ik schoof en verlengde, ik zweette en redeneerde, en kwam zo tot een driehoek die twee keer zo groot was als ABC en die er binnenste-buiten gekeerd omheen lag. De middelloodlijnen van die grote driehoek A'B'C' zijn de hoogtelijnen van de kleine driehoek ABC. Ik had dus bewezen dat de drie h-lijnen door een punt gaan!

Vorige week vond ik in de bibliotheek van het Mathematisch Centrum, behalve de stelling van Ceva, een kollege-diktaat van Troelstra, waarin hij zo de hoogtepunt-stelling bewijst, maar in een moeite door een prachtige stelling aantoont die de Zwitser Leonhard Euler 230 jaar geleden vond: de punten H, Z en M van een driehoek liggen op één lijn!

Als je de grote driehoek ziet als het resultaat van een vermenigvuldiging, in het punt Z, van de kleine driehoek, met een factor -2 (de 2 zorgt voor de verdubbeling, de min voor de spiegeling), dan is het punt dat uit M ontstaat het snijpunt van de hoogtelijnen van de kleine driehoek. Maar dan liggen M, Z en H dus op één lijn! Dat ik dat vijftig jaar geleden niet zag, kwam omdat ik de driehoeken te klein en te slordig tekende en omdat ik geen Euler was.

Ik was blij met mijn bewijs. Maar ik besefte ook dat ik mijn Eerlijke-Lijnen-stelling wel kon vergeten. Want de drie evenwijdige lijnen door de drie hoekpunten A, B en C waren ongetwijfeld drie eerlijke lijnen, en toch gingen ze niet door één punt. Misschien had ik het begrip eerlijkheid moeten inperken door alleen over lijnen binnen de driehoek te spreken, maar voor mij was de lol er af. Mijn stelling was niet waar. Maar het gloeien van opwinding over zo'n stelling ben ik nooit vergeten.

1948

Ik heb nu zelf een meetkunde-boek. We krijgen de stelling: “Als een driehoek gelijkbenig is (twee gelijke zijden heeft), dan zijn de twee hoeken van de gelijke benen met de derde zijde ook gelijk.” Flauwe stelling, want je ziet het zo. De aardigheid moet hem dus in het bewijs zitten. Euclides bewijst hem door allerlei lijnen onder de driehoek te tekenen, de beroemde ezelsbrug. Het schoolboek bewees hem door een hulplijn AM te trekken. Een hulplijn! Ach, ik had twee jaar eerder al een hele hulpdriehoek getrokken.

Ik herinner me niet hoe AM werd getrokken. Het doet er weinig toe. Het komt er steeds op neer dat je de driehoek in het midden omvouwt. Als AM de b-lijn is, dan vouw je zo dat AB op AC komt te liggen. Als AM de z-lijn is, dan vouw je zo dat B op C komt te liggen. En als AM de h-lijn is, dan vouw je zo dat BM langs MC komt te liggen. In alle drie de gevallen zie je eenvoudig in dat driehoek ABM even groot is als driehoek ACM, dus zijn ook de hoeken bij B en C gelijk. Je past eenvouding een van de stellingen over congruentie toe.

“Maar”, zei ik tegen meneer Menk (zo noem ik de wiskundeleraar. Hij heette anders, maar later kreeg ik meneer Menk die in een week in het Maarten-Maartenshuis de integraalrekening uitlegde), “maar, als we toch congruentie gebruiken, waarom zeggen we dan niet direct dat driehoek ABC congruent is met zichzelf van achteren gezien, de driehoek ACB (want AB=AC, BC=CB en CA=BA), en dat daarom de hoeken bij B en C gelijk zijn?”

Nee, dat mocht niet. Mijn leraar deelde kennelijk het bezwaar dat Lewis Carroll, of eigenlijk Charles L. Dodgson, in 1885 tegen dit bewijs formuleerde in zijn boek Euclides en zijn moderne rivalen. Dat je een driehoek kon optillen, omkeren, en op zichzelf neerleggen vond Carrol “Ierse flauwekul” en deed hem denken aan de “man die zijn eigen keel afwandelde”. Carroll en Menk wisten niet dat volgens Proklos (450 n.C.) de meetkundige Pappos (350 n.C.) het ook zo had bewezen en dat een computerprogramma, dat meetkunde-stellingen moest gaan bewijzen, het ook zo ging doen. Ik vond de wiskunde een beetje stom vak geworden, omdat je, net zo als in alle andere schoolvakken, kennelijk maar moest aannemen dat het zo was als in de boeken stond. Mijn meetkunde-liefde verflauwde helemaal toen ik in de vierde klas leerde hoe Descartes het hele vak verpest had door het tot algebra terug te brengen. Al die prachtige stellingen kon je nu door stom rekenwerk bewijzen. Bah!

1956

Ik heb mijn kandidaats wiskunde en kan kandidaat-assistent worden bij professor Heyting. Mijn ouderlijk maandgeld van 150 gulden werd verhoogd tot een zelfverdiende 199 gulden. Om enkele formaliteiten te vervullen stapte ik de kamer binnen van professor De Groot (voornamen kende je niet in die tijd), waar twee rotan stoelen stonden, die nog van Brouwer waren geweest. Op het schoolbord stonden tientallen stipjes, streepjes en lettertjes. Ik keek ernaar, pakte een krijtje en zette er nog een punt bij. De Groot keek getroffen en riep: “Geniaal! Natuurlijk, en dan compactificeren en dualiseren en dan bewijs je zonder moeite dat...”, of woorden van gelijke mysterie. Ik begreep niet waarover het ging en waarom ik mijn punt juist daar gezet had. Ik vond het gewoon een goede plek voor een punt.

De Groot belde naar Heyting dat hij mij als assistent wilde hebben. Ik was daar blij om, want ik vond de lineaire algebra van Heyting stomvervelend en was benieuwd naar de topologie van De Groot. Ik hoorde de twee proffen door de telefoon en de wand (de kamers grensden aan elkaar) ruzie maken en durfde niet te zeggen dat mijn genialiteit geen genialiteit was.

1961

Ik heb mijn doctoraal wiskunde en kan research assistant worden bij professor Tarski in Berkeley. Hij stelt mij voor hem te helpen bij het rigoureus axiomatisch opzetten van de Euclidische meetkunde. Gedurende mijn hele studie heb ik nooit over de gewone meetkunde gehoord. Wel projectieve en niet-Euclidische en differentiaal- en eindige meetkundes maar niet mijn eigen gezellige driehoeken van toen ik tien jaar was. En nooit gehoord over de stellingen van Ceva en Euler die ik vorige week leerde. Ik zei: “Nee, dat trekt me niet aan” tegen Tarski en ik heb daarna nooit meer aan wiskunde gedaan.

Is de wiskunde alleen maar zelfverzonnen spielerei in ons hoofd of is het een beschrijving van de wereld om ons heen? Bestaan wiskundige dingen al en worden ze door de wiskundige ontdekt, of worden ze door de wiskundige uitgevonden?

Door mijn ervaring met de Eerlijke Lijnen denk ik dat wiskunde uitvinden is. Ik vond iets uit dat niet waar was, dus het was geen ontdekking. Dat het niet waar bleek, verminderde niets aan mijn opwinding en obsessie. Grote wiskundige vooruitgang komt altijd op ogenblikken dat iets niet waar is. De Grieken ontdekten dat de diagonaal en de zijde van een vierkant geen breuk tot verhouding hebben. Later bleek de wortel uit een negatief getal, die niet bestaat, toch heel nuttig te zijn. Frege werd door een paradox van Russell omvergegooid en Russell op zijn beurt door een paradox van Gödel. Dat is geen ontdekken, dat is uitvinden. Als het toch ontdekken is, dan is het de ontdekking waar je hersenen toe in staat zijn.

Vijftig jaar geleden ontdekte ik dat mijn hersenen dingen konden die ik niet eerder vermoedde. Vijftien jaar heb ik mij daarmee vermaakt. Toen wist ik zeker dat ik geen geniaal wiskundige was en ging andere dingen doen.