Het taaie continuüm

Wat is een rechte? De Grieken zagen haar als de lijn van de meetkunde, het ideaalbeeld zoals Plato zich dat dacht en dat direct door aanschouwing werd aanvaard.

Op die rechte ligt het continuüm van de reële getallen, onder te verdelen in rationale getallen (te schrijven als een breuk van twee gehele getallen, bijvoorbeeld 4/9) en irrationale getallen (getallen waar zo'n breuk niet werkt, bijvoorbeeld , de wortel uit 2 of het getal van Euler e). Met dat continuüm, zo heeft de Utrechtse wiskundige prof.dr. Dirk van Dalen aangetoond, is iets vreemds aan de hand: het is nog taaier dan L.E.J. Brouwer in 1924 al dacht.

Bovengenoemde Grieken twistten al over de vraag of de rechte in afzonderlijke punten opgesplitst kan worden. Ja, zeiden de atomisten, de lijn bestaat uit gescheiden punten met een eigen individualiteit. Nee, zei Anaxagoras, het continuüm is geen serie discrete elementen, 'gescheiden, als met een bijl van elkaar gehakt'.

In de negentiende eeuw bouwden wiskundigen als Dedekind, Weierstraßss en Cantor de getallenrechte op vanuit de arithmetiek of rekenkunde. Van Dalen: 'Dat deden ze door bijvoorbeeld uit te gaan van oneindige convergerende rijen rationale getallen. Op die manier construeerden ze individuele reële getallen, je kunt ze als het ware stuk voor stuk zien. In die 'klassieke' visie is de rechte zonder bezwaar te splitsen in getallen groter dan wel kleiner gelijk nul: iets is groter dan nul, of het is kleiner gelijk nul, een andere mogelijkheid is er niet.'

Dat laatste, het principe van de uitgesloten derde, is door Brouwer kort na de Eerste Wereldoorlog in zijn nieuwe fundering van de wiskunde overboord gezet. Van Dalen: 'In Brouwers intuïtionistische wiskunde is splitsing van de rechte boerenbedrog. Dat komt omdat de reële getallen bij hem niet af zijn, van de oneindige reeks stappen die eraan te pas komt om ze te construeren ken je alleen de aanloop. Terwijl de Platonist zegt dat dat hele oneindige proces kant en klaar in het universum ligt, inclusief de uitkomst, predikt de intuïtionist onzekerheid als gevolg van onvoltooidheid. Zijn continuüm is vloeiend en van sommige getallen valt niet te zeggen of ze links of rechts van nul liggen. Bij splitsen zou je met onzekere punten blijven zitten, punten die niet weten in welk deel ze thuishoren.'

Rafelig

Om het aanschouwelijk te maken: neem een metalen draad en trek hem stuk. In de klassieke wiskunde is het breukvlak 'schoon', er gaat geen punt (molecuul) verloren. Bij Brouwer breekt de draad op 'rafelige' wijze, de uiteinden passen niet langer en er raken punten zoek. Van Dalen: 'Of neem een lijntje stroop: dat valt met geen mes fatsoenlijk in tweeën te delen omdat het goedje aan het mes blijft kleven. Maar zet je het in de vriezer, dan lukt het wel: het klassieke continuüm als het bevroren intuïtionistische continuüm.'

In 1924, enkele jaren nadat hij zijn nieuwe wiskunde in baanbrekende artikelen had gepresenteerd, bewees Brouwer dat het intuïtionistische continuüm op geen enkele manier in twee stukken gesplitst kan worden: het is unzerlegbar. Zeventig jaar later heeft Van Dalen dit resultaat flink aangescherpt. 'Laat je een punt uit het continuüm weg, sterker, laat je alle rationale getallen weg - en dat zijn er verschrikkelijk veel - dan nòg is splitsen onmogelijk. Zo wild zijn in de intuïtionistische wiskunde de punten op de lijn, dat krachtig perforeren er niet toe doet en ook een irrationale gatenkaas onsplitsbaar blijft.'

Bij het bewijs van zijn stelling, dat door zijn overzichtelijkheid grotendeels op de fiets tot stand heeft kunnen komen en dat wordt gepubliceerd in de Journal of Symbolic Logic, heeft de Utrechtse hoogleraar gebruik gemaakt van principes die L.E.J. Brouwer eind jaren twintig heeft geformuleerd en pas na de oorlog gepubliceerd. Van Dalen: 'Ik gebruik als het ware meer Brouwer dan Brouwer zelf. Het nu bereikte resultaat stemt me tevreden. Altijd is het continuüm voor filosofen een steen des aanstoots geweest. Het doet me plezier zo'n eenvoudig elementair ding zijn rentree te doen maken.'

Prof.dr. D. van Dalen bereidt een Brouwer-biografie voor en roept de laatste bezitters van brieven e.d., of zij die informatie kunnen verstrekken, op zich met hem in verbinding te stellen: 030 - 6663857.