Leeg hok

We kunnen het deuren-proces van Marilyn Vos Savant (W&O, 18 mei) ook op een heel andere manier beschouwen.

Er zijn weer drie deuren A, B en C met achter een van deze deuren een prijs. Kandidaat K mag kiezen uit één deur of twee deuren om open te maken. Het zal voor iedereen duidelijk zijn dat K wel gek zou moeten zijn om zichzelf niet een dubbele kans te geven. K kiest dus voor twee deuren (en dus een kans van op de prijs), zeg B en C.

Hoe nu binnen de deurenverzameling {B, C}e feitelijke plaats van de prijs gaat worden aangegeven is niet relevant, K heeft een kans van om de prijs te winnen omdat hij twee van de drie deuren reserveert.

Maar dit is nu net wat er in het echte prijzenverhaal gebeurt. K redeneert als volgt: “Ik wil twee deuren reserveren (zeg {B, C}). Dat realiseer ik door eerst deur A te nemen en op het eind te wisselen naar de overgebleven deur. Dat komt overeen met het reserveren van de twee deuren {B, C}, waarbij de quizmaster Q straks wel aangeeft waar de prijs precies zit (door de verkeerde van deze twee deuren te openen), Natuurlijk kan ik de pech hebben dat de prijs achter A zit, waardoor ik de prijs misloop en Q alleen een rituele dans uitvoert met een deur, maar die kans is slechts , de kans dat de prijs in B of C zit is en dan is-ie voor mij!

Ook bij veel (N=100) deuren waarvan er N-2 = 98 opengaan is de redenering precies hetzelfde. Er is slechts 1% kans dat K voor de prijs is gaan staan (en deze dus misloopt door te wisselen), en in de 99% van de gevallen dat K voor een leeg hok staat, geeft Q aan achter welke van de overige 99 deuren de prijs precies zit. Marilyn Vos Savant heeft dus wel degelijk 99% kans op de prijs.

De essentie is dat K, door voor een leeg hok te staan (kans bij 3, 99/100 bij 100 deuren), Q dwingt om aan te geven waar de prijs zit (door alle mogelijke lege hokken te openen). En daarvan maakt K gebruik. Als (pech) K niet voor een leeg hok, maar voor de prijs staat (kans is resp. 1/100), is de hele operatie van Q slechts een loos ritueel dat er wel net zo uitziet als het aanwijzen van het prijzenhok, maar dat geen inhoudelijke betekenis heeft.

En als u het nu nog allemaal niet gelooft, dan blijft er niets anders over dan een simulatie met een computer of, veel leuker, met de oudste zoon van een vage kennis als quizmaster, diens enige zusje als kandidaat, uw ladenkastje als prijzenwand en een gezondheidstest als hoofdprijs.