Een reactie op alle brieven

Hoewel ik er in stilte op had gehoopt met mijn artikel wat reacties los te maken, was ik toch overdonderd door de stortvloed aan brieven. Vraagstukken over statistiek en kansrekening maken nogal wat los! Velen onder u zijn in de pen geklommen om mij op onjuiste redeneringen en verkeerde conclusies te wijzen. De negentiende-eeuwse Engelse premier Benjamin Disraeli zei het al: “There are lies, damn lies and there's statistics.” Als antwoord op alle brieven laat ik op deze plaats elk van de drie door mij aangehaalde 'tegen-intuïtieve' problemen nog één keer de revue passeren. Eerst het Drie-Deuren-Probleem: achter welke van 3 gesloten deuren ligt de prijs? De winnaar kiest een der deuren, de quizmaster die weet waar de prijs ligt, opent van de twee andere de deur waar de prijs niet is. U kunt nu nog naar de andere gesloten deur. Heeft dat zin? Ja zegt Vos Savant: de kans op een prijs is daar 2/3.

Met de oplossing van dit probleem is, ondanks de door velen onder u aangevoerde tegenwerpingen, niets mis. Om alle twijfelaars alsnog te overtuigen volgen hier twee alternatieve redeneringen. Stel, u kiest als kandidaat in eerste instantie altijd voor deur A. Er zijn dan drie mogelijkheden. 1) de prijs ligt inderdaad achter deur A, en wat de quizmaster ook doet, u zou wel gek zijn om te wisselen. 2) de prijs ligt achter deur B, de quizmaster opent deur C (hij weet dat daar niets ligt), en u kunt beter wisselen en alsnog voor deur B kiezen. 3) de prijs ligt achter deur C, de quizmaster opent deur B (hij weet dat daar niets ligt), en u kunt opnieuw beter wisselen en voor deur C kiezen. In twee van de drie hierboven genoemde gevallen is het dus beter om te wisselen. De kans dat u de prijs krijgt als u wisselt is dus gelijk aan 2/3, en als u blijft staan 1/3. Wisselen dus! Marilyn Vos Savant tenslotte redeneerde: stel dat er honderd deuren zijn, waarvan er slechts ééntje de prijs verbergt. Als de quizmaster nu 98 deuren opent en laat zien dat daar niets achter zit, dan zou u toch wel gek zijn om niet te wisselen! Wie nu nog altijd problemen heeft, kan ik (met dank aan Hessel Pot, Woerden) slechts verwijzen naar de uitgave van het Nederlandse wiskundetijdschrift Pythagoras van oktober 1987 (!), waar het probleem al uitgebreid ter sprake kwam. Dan het probleem met de kinderen, waarin ik helaas een fout heb gemaakt. Het vraagstuk is afkomstig van Martin Gardner en verscheen in zijn 'Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions'. Gardners formulering luidde: “Meneer Smith zegt dat hij twee kinderen heeft, waarvan er tenminste eentje een jongen is. Wat is de kans dat zijn andere kind ook een jongen is?” In dit geval is de kans 1/3 volgens de in mijn artikel gegeven redenering. Doordat ik de vraagstelling echter heb aangepast (naar een wat meer alledaagse situatie), is het probleem, zonder dat ik me dat realiseerde, veranderd. De kans dat we onze 'vage kennis' meneer Smith op straat met een zoon tegenkomen, is in het geval hij twee zoons heeft, twee keer zo groot: hij kan immers zowel met de ene als met de andere zoon de straat opgaan. Er zijn dus niet drie mogelijkheden (JJ, JM en MJ), maar vier: JJ, JJ, JM en MJ. Hierdoor komt de gevraagde kans toch weer op een half uit, iets waar velen van u mij zeer terecht op hebben gewezen. Dan als laatste het probleem van de test op een gevaarlijke ziekte. Daarvan is het op zich heel eenvoudig door een ieder uit te rekenen wat de kans is dat iemand die positief blijkt, ook werkelijk de ziekte heeft. Stel dat er duizend mensen getest worden. Eén procent van hen lijdt aan de ziekte, dat zijn er dus 10. De overige 990 zijn gezond. Nu gaan we de test, die een betrouwbaarheid van 90% heeft, uitvoeren. Van de tien 'zieken' testen er negen positief en eentje (ten onrechte) negatief. Van de 990 gezonde mensen zullen er 891 (90% van 990) negatief bevonden worden en 99 (opnieuw ten onrechte) positief. Als we nu het testresultaat bekijken, vinden we 108 (99+9) positieve uitkomsten, waarvan er maar negen terecht zijn! De kans dat iemand uit die groep dus echt ziek is, is slechts 9/108, ofwel iets meer dan 8%.