Drie laadjes

Van den Berg geeft een aantal voorbeelden van 'cognitieve illusies'. Het voorbeeld van de vage kennis met twee kinderen toont het bestaan hiervan met grote overtuigingskracht aan doordat de auteur in een drogrede de lezer een foutief antwoord aanpraat. Hij concludeert dat het tweede kind met kans 1/3 een jongen is. Laat de dominee dit niet horen!

Voor de berekening van het juiste antwoord introduceer ik: W = 'het wandelende kind is een jongen', en de vier kindercombinaties JJ, JM, MJ en MM, waarbij steeds de eerste letter het geslacht van de oudste representeert. Beide geslachten zijn a priori even waarschijnlijk, dus P(W)=1/2. Ook alle kindercombinaties zijn even waarschijnlijk, dus:

P(JJ)=1/4, P(JM)=1/4, P(MJ)=1/4 en P(MM)=1/4.

De wandelende ouder heeft, naar ik aanneem, een willekeurig kind gekozen als wandelpartner, dus:

P(WJJ)=1, P(WJM)=1/2, P(WMJ)=1/2 en P(WMM)=0.

Volgens Bayes geldt nu: P(JJW)=P(JJ)*P(WJJ)/P(W)=1/2.

Evenzo: P(JMW)=1/4, P(MJW)=1/4 en P(MMW)=0.

Het correcte antwoord is dus dat het tweede kind met kans 1/2 een jongen is. De schrijver stelt terecht dat een van de vier kindercombinaties (nl. MM) is afgevallen, maar dat betekent niet dat de drie overgebleven combinaties elk even waarschijnlijk zijn. P(JJW) is namelijk twee keer zo groot als P(JMW) en P(MJW) omdat in het geval JJ beide kinderen het wandelende kind kunnen zijn. Er zijn dus aanvankelijk acht mogelijkheden (vier kindercombinaties maal twee wandelkeuzes) waarvan er vier afvallen (namelijk de vier dochterkeuzes).

Direct daarna stelt de schrijver dat de situatie totaal anders zou zijn wanneer de jongen als het oudste kind was voorgesteld. De kansen kunnen echter om redenen van symmetrie niet veranderen: natuurlijk is het wandelende kind of de jongste, of de oudste, maar welke van beide maakt niet uit. Twee van de vier nog over gebleven mogelijkheden vallen af en de kans blijft 1/2.

Mogelijk was de schrijver in de war met de volgende situatie: Iemand vraagt aan een argeloze voorbijganger: 'Heeft u precies twee kinderen?' Indien het antwoord bevestigend is vraagt hij verder: 'Is ten minste een van hen een jongen?' Is het antwoord weer bevestigend dan stelt hij voor: 'Wedden dat ik het geslacht van uw andere kind kan raden!' De kans op een jongen is dan namelijk nog maar 1/3.

Tijdens een examen wiskunde kreeg ik eens de volgende opgave: 'Een kast bevat drie laadjes. In een daarvan zitten twee zwarte balletjes, in een ander twee witte en in de laatse een zwart en een wit balletje. Iemand opent een willekeurig laadje en haalt er een balletje uit. Het blijkt een zwarte te zijn. Wat is nu de kans dat het andere balletje uit dit laadje ook zwart is?'

Slechte een handjevol studenten gaf het juiste antwoord (2/3).

Van de in het artikel genoemde visuele illusie kan niemand zich losmaken; zelfs na het meten blijft de illusie bestaan. Dit in tegenstelling tot cognitieve illusies, zoals ook de quiz met de drie deuren, waar schijnbaar gezond verstand rechtstreeks naar het foute antwoord leidt, maar waar de illusie verdwijnt na het begrijpen van de correcte redenering. Op zoek hiernaar vinden vaak verhitte discussies plaats, die zelden sneller tot succes leiden dan rustig rekenwerk.