Wiskunde genieten

Het vraagstuk van 'De twee rovers' die een zak gouden munten verdelen ('Wiskunde genieten buiten schooltijd', W&O 11 mei) is een aanlokkelijk maar moeilijk wiskundig probleem gebleken. (In zijn oorspronkelijke vorm werd het voorgelegd aan Hongaarse scholieren van 14 à 15 jaar.) In totaal ontving ik tot nog toe 25 reacties, sommige verschillende bladzijden lang.

Duidelijk was dat het probleem zowel oud als jong aansprak, professional en amateur. Een heer van boven de tachtig zond een keurige en juiste tabel, alhoewel het, naar hij schreef, 45 jaar geleden was dat hij wiskunde volgde! Sommige inzenders vroeger om meer, zelfs waren er die nieuwe vraagstukken instuurden.

De antwoorden liepen uiteen: 4 inzenders meenden dat de eerste rover het best af zou zijn, 2 kozen voor de tweede, 2 zagen geen verschil en de overige 17 meenden dat het aantal munten bepalend was.

Laten we de rovers A en B noemen. Nemen we verder aan dat er bij het verdelen van de munten n rondes zijn met rest r. Als er m munten zijn, kan m geschreven worden als 1+2+3+...+n+r, met 0≤r≤n. Onderzoeken we eerst de gevallen met m=1,2,3,... Een zorgvuldige blik op bijgaande tabel leidt tot de volgende aannames:

(i) Beide rovers krijgen hetzelfde bedrag als m=2,4,8,12,18,24,32. In het algemeen: als m=1+2+...+n+[(n+1)/2]. Dergelijke m-waarden noemen we 'even goed-waarden'.

(ii) De aantallen tussen twee 'even goed-waarden' zijn alle gunstig voor één van de rovers, en in ieder oneven interval zijn de getallen gunstig voor A. Ofwel: als 0<m<2, 4<m<8, 12<m<18, 24<m<32, etc., dan krijgt B meer munten dan A.

De meeste inzenders kwamen min of meer tot deze eigenschappen, zij het dat slechts een enkeling met een aanzet tot een algemeen geldig bewijs kwam. Waarschijnlijk is de eenvoudigste strategie voor zo'n bewijs te laten zien dat de regelmaat, eenmaal aangetoond voor kleine m, daaruit voortvloeiend ook voor grote m geldt.

We weten nu dus in welke concrete gevallen A meer krijgt dan B, en omgekeerd. Maar dit is nog niet het antwoord op het probleem: is het beter eerste dan tweede rover te zijn? Het is waar dat een sluwe rover van bovenstaande argumentatie kan profiteren, als hij het aantal munten kent. Maar in de praktijk is dat niet het geval.

Praten over 'voordeel' heeft alleen zin in termen van waarschijnlijkheden. Is het waarschijnlijker dat A meer krijgt dan B? Laten we aannemen dat de zak maximaal M munten bevat, met voor alle mogelijkheden (1,2,3,...M munten in de zak) dezelfde kans. Eigenschappen (i) en (ii) kunnen nu worden uitgebreid met de volgende bewering aangaande het aantal surplus-munten voor A of B:

(iii) Ieder interval dat gunstig is voor B bevat evenveel gevallen als het voorafgaande interval dat gunstig was voor A en de winsten binnen deze intervallen zijn voor A en B hetzelfde (zie de tabel).

Dit betekent dat iedere situatie die voordelig is voor B een net zo waarschijnlijk tegenvoorbeeld heeft dat juist voordelig is voor A. Ofwel: bij een gegeven M worden gunstige gevallen voor B altijd gecompenseerd. Maar voor veel waarden van M resteren er gunstige waarden voor A die niet door B-waarden worden gecompenseerd. Dus is het verdeelschema het gunstigst voor A.

Voor wie meer wil: probeer eens het geval te onderzoeken van een minimumaantal van N munten in de zak, of dat van drie rovers...