De Meetkunde van de Strings

Wiskunde en theoretische natuurkunde waren altijd al nauw met elkaar verweven. De laatste jaren zijn er nieuwe bruggen geslagen. Strings met onmetelijk kleine afmetingen onthullen de geheimen van getallenreeksen waar wiskundigen geen raad mee wisten.

Donald J. Albers, Freeman Dyson: Mathematician, Physicist, and Writer, The College Mathematics Journal, 25, 1994.

John Horgan: Profile: Edward Witten. The pied Piper of Superstrings, Scientific American, November 1991.

'What we have learned in the 20th century, is that the great ideas in physics have geometric foundations'

Edward Witten (1991)

Aan de universiteiten van Amsterdam en Utrecht zijn onderzoekers begonnen aan een samenwerkingsproject om de achtergronden te bestuderen van kort geleden ontdekte samenhangen tussen de stringtheorie uit de moderne deeltjesfysica en de abstracte wiskunde. In het kader daarvan organiseert prof.dr. Robbert Dijkgraaf, hoogleraar mathematische fysica aan de Universiteit van Amsterdam samen met de algebraïsch meetkundigen prof.dr. Gerard van der Geer en dr. Carel Faber van 24 tot 29 april op Texel een internationale conferentie over het thema The Moduli Space of Curves.

Achter deze intrigerende titel gaat een onderzoeksveld schuil dat tot voor kort het exclusieve domein was van de meest zuivere, abstracte wiskunde, maar dat plotseling spectaculaire toepassingen heeft gevonden in de theorie die volgens sommigen de pretentie heeft een nieuwe universele verklaring te geven van de manier waarop de fysische werkelijkheid in elkaar zit. Het is geen eenrichtingverkeer van wiskunde naar natuurkunde: op een 'heuristische' manier leiden theoretisch fysici ook onverwachte wiskundige resultaten af die wiskundigen dan slechts met de grootste moeite kunnen verifiëren, maar die telkens wél blijken te kloppen. Robbert Dijkgraaf: 'Na de Tweede Wereldoorlog is er een lange periode geweest waarin de wiskunde en de natuurkunde ver uit elkaar groeiden. Wat we de laatste jaren zien, is een werkelijk sensationele toenadering, waarbij van de kant van de theoretische fysica de quantumveldentheorie en de stringtheorie samensmelten met wiskundige disciplines als knopentheorie, Riemannoppervlakken en de theorie van de algebraïsche krommen. Al die gebieden blijken elkaar wederzijds te bevruchten en te stimuleren, en dat zal ongetwijfeld in de toekomst leiden tot nog meer spectaculaire resulaten, zowel binnen de wiskunde als binnen de natuurkunde.' In een recent interview sprak de fysicus Freeman Dyson van het Institute for Advanced Study in Princeton - en hier vooral bekend door zijn bijdrage aan de TV-serie 'Een schitterend ongeluk' van Wim Kayser - over soortgelijke ontwikkelingen in Princeton: 'De activiteiten van de fysici hier zijn bijna helemaal door de wiskundigen overgenomen. Er is geen scheidslijn. Wat de fysici 'stringtheorie' noemen, is een bloeiende tak geworden van de wiskunde. (...) Je kunt tegenwoordig misschien wel spreken van een scheidslijn tussen de stringtheorie en de rest van de natuurkunde, maar niet meer van een scheidslijn tussen de stringtheorie en de wiskunde.'

Feynmandiagrammen

De natuurkundige kant van het verhaal begint met Feynmandiagrammen, schematische plaatjes waarmee wisselwerkingen tussen deeltjes als elektronen en fotonen kunnen worden geïllustreerd. Zo'n diagram geeft weer hoe elementaire deeltjes vervallen en ontstaan, en bij natuurkundige berekeningen moet je als het ware een hele reeks Feynmandiagrammen met elkaar combineren. Het verrassende is dat ervaren fysici via zulke berekeningen, die gebruik maken van ingewikkelde wiskundige integralen, verifieerbare resultaten verkrijgen, hoewel de wiskundige onderbouwing van die rekenmethode nog verre van volmaakt is.

Bij een Feynmandiagram wordt verondersteld dat de deeltjes puntvormige objecten zijn die 'wereldlijnen' in de ruimte-tijd beschrijven, en een diagram is dus een samenstel van zulke wereldlijnen. Inmiddels heeft echter de stringtheorie in de fysica haar intrede gedaan, en daarin zijn deeltjes niet meer puntvormig, maar strings, snaartjes, minuscule trillende eendimensionale objecten. Je zou ze kunnen voorstellen als kleine elastiekjes die door de ruimte-tijd bewegen. Een Feynmandiagram krijgt daardoor ook iets tweedimensionaals: wereldlijnen worden dunne cilindertjes, en het hele diagram wordt een ingewikkeld samenstel van buisjes die bij elkaar komen en zich weer vertakken, net als een soort bloedvatenstelsel. In plaats van alle Feynmandiagrammen tussen twee toestanden, moet je nu dus alle 'Feynman-buizenstelsels' tussen twee toestanden in aanmerking nemen als je fysische berekeningen wilt uitvoeren. En weer is het verbazingwekkend dat ervaren fysici erin slagen zinvolle uitkomsten uit die berekeningen te krijgen, hoewel de wiskundige achtergrond ervan op dit moment nog zeer duister is. De resultaten die ze ermee behalen, blijken echter wel te kloppen met zeer abstracte stellingen uit de algebraïsche meetkunde. Zij blijken zelfs uitkomsten te kunnen voorspellen die veel verder gaan dan wat wiskundigen in hun stoutste dromen hadden durven denken.

Omgekeerd kunnen de wiskundigen door hun expertise in de meetkunde het natuurkundeonderzoek in de stringtheorie nieuwe impulsen geven. Die buizenstelsels van de nieuwe Feynmandiagrammen kunnen namelijk opgevat worden als Riemannoppervlakken, meetkundige structuren die Bernhard Riemann (1826-1866) in de vorige eeuw construeerde bij zekere algebraïsche vergelijkingen in twee variabelen. Zo'n vergelijking definieert een vlakke kromme als je de variabelen opvat als reële getallen, maar als je er complexe getallen van maakt, past er ook een zeker oppervlak bij, het Riemannoppervlak bij die kromme.

Neem bijvoorbeeld vergelijkingen in x en y van de vorm

y = x + ax + 1

waarbij a een nog nader te bepalen vast getal is. Voor elke a stelt deze vergelijking een derdegraadskromme voor, en voor elke a heeft het bijbehorende Riemannoppervlak de vorm van een torus, dat wil zeggen een soort ring of fietsband. De constante a bepaalt de precieze vorm ervan, de verhouding tussen de dikte van de band en de diameter van het gat.

Er zijn ook algebraïsche krommen met Riemannoppervlakken met twee of meer gaten. Het aantal gaten heet het geslacht van het oppervlak, en tevens ook het geslacht van de bijbehorende kromme, en wiskundigen zijn al heel lang geïnteresseerd in het onderzoek naar gemeenschappelijke eigenschappen van alle krommen met hetzelfde geslacht g. Die eigenschappen worden beschreven door de zogenaamde moduliruimte Mg, een abstract meetkundig object dat behoort tot de ingewikkeldste voortbrengselen van de moderne wiskunde. En het zijn nu juist die abstracte moduliruimten uit de algebraïsche meetkunde die in de stringtheorie een belangrijke rol blijken te spelen. Ze zijn onontbeerlijk bij de studie van de 'buisachtige' Feynmandiagrammen, en ze hebben direct te maken met de berekeningen over elementaire deeltjes uit de quantumveldentheorie.

Intersectiegetallen

Het wiskundige onderzoek naar moduliruimten boekte slechts langzaam voortgang. In de jaren zestig waren de eerste stappen gezet door David Mumford van Harvard University, en in het begin van de jaren tachtig kon men zeggen dat men de belangrijkste eigenschappen kende van de moduliruimten voor krommen van geslacht 0, 1 en 2, onder andere ook de zogenaamde intersectiegetallen. Voor geslacht 0 en 1 waren die gemakkelijk te berekenen, maar reeds voor geslacht 2 had Mumford er zijn handen aan vol gehad. De berekeningen voor g = 3 maakten deel uit van het proefschrift van Carel Faber, maar de berekeningen voor hogere g leken afschrikwekkend gecompliceerd te zijn.

Toen verscheen er in 1989 een artikel van de theoretisch fysicus Edward Witten uit Princeton met daarin resultaten op het gebied van de stringtheorie waaruit de intersectiegetallen van alle moduliruimten, niet alleen voor kleine g, maar voor alle g tegelijk, direct af te leiden waren. Omdat een strikt wiskundig bewijs toen nog ontbrak, sprak men van de 'Witten-vermoedens'.

Wittens artikel kan gezien worden als een goed voorbeeld van de nieuwe samenwerkingsgolf tussen de theoretische fysica en de wiskunde. In 1990 kreeg hij voor zijn werk de Fields Medal, een onderscheiding die algemeen wordt gezien als het wiskundige equivalent van de Nobelprijs. Een jaar later, in 1991, werden de Witten-vermoedens bewezen door de toen 26-jarige Russische wiskundige Maxim Kontsevich die in Bonn werkt. Kontsevich gebruikte in zijn bewijs echter weer heel andere wiskundige technieken dan die welke in de algebraïsche meetkunde gemeengoed zijn, en de experts hebben dan ook het idee dat hier nog veel interessant studiemateriaal in het verschiet ligt.

Calabi-Yau variëteit

Een soortgelijke ontwikkeling heeft zich voortgedaan bij een op het eerste gezicht bizar soort meetkundige berekeningen in de vierdimensionale ruimte. Daarbij ging het om het tellen van alle rechte lijnen, kegelsneden en hogere-graadskrommen op een driedimensionale meetkundige figuur die door een vijfde-graadsvergelijking wordt gegeven. De uitkomsten zouden een oneindige rij getallen moeten geven, maar alleen de eerste drie heeft men tot nu toe echt kunnen uitrekenen.

Het eerste getal a = 2875, het aantal rechte lijnen in de figuur, was al in 1879 door H. Schubert berekend. De berekening van het volgende getal a = 609250 dateert van 1986, en pas in 1992 heeft men met zeer veel moeite en computerhulp het volgende getal uit de rij, a = 317206375, gevonden. De berekening van de hogere a's leek hopeloos gecompliceerd, en daardoor volstrekt uitgesloten te zijn.

Maar nu de natuurkundige invalshoek. De superstringtheorie speelt zich af in een tiendimensionale ruimte: drie 'gewone' ruimtedimensies, de tijd als vierde dimensie, en dan nog zes raadselachtige 'opgerolde' extra dimensies, waarvan de afmetingen zo klein zijn (ongeveer 10- cm) dat ze met geen mogelijkheid direct waargenomen kunnen worden. Bij elk punt van de gewone vierdimensionale ruimte-tijd hoort dan een minuscuul zesdimensionaal object, de zogenaamde Calabi-Yau variëteit, waarin zich de strings ophouden. Zes reële dimensies corresponderen met drie complexe dimensies, en als je zo'n Calabi-Yau variëteit op die manier bekijkt, wordt het precies de mysterieuze driedimensionale meetkundige figuur waarop de wiskundigen zo ijverig aan het tellen waren. Sterker nog, de rechte lijnen, kegelsneden en hogeregraadskrommen kunnen direct in fysische termen worden vertaald, en zelfs op twee verschillende manieren. De a's zijn dan krachtkoppelingsconstanten tussen elementaire deeltjes, en het gelijk stellen van de twee verschillende natuurkundige interpretaties van het model leidt tot relaties waarmee men de a's kan berekenen.

In 1991 publiceerden de Amerikaanse onderzoekers Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green en Linda Parkes de resultaten van zulke berekeningen. Hun waarden voor de a's staan in een tabel op deze pagina. De eerste drie getallen komen overeen met de bekende waarden.

Gerard van der Geer: 'Dit is gewoon verbijsterend: voor kleine a's kloppen die getallen zeker, en voor grotere a's moeten ze ook wel goed zijn: zulke getallen verzin je niet zo maar. Het is duidelijk dat er hier grote wiskundige en natuurkundige mysteries achter zitten die om een oplossing vragen. Er liggen hier dwarsverbanden tussen de deeltjesfysica en onze abstracte meetkunde die onvermoede geheimen van de kosmos herbergen.'

En een citaat van Freeman Dyson over het werk van Edward Witten sluit hier naadloos bij aan: 'Je bouwt een structuur met behulp van componenten die volstrekt verschillend lijken. Ze behoren tot verschillende werelden. Maar dan bouw je die schitterende brug die ze tot één geheel maakt, één samenhangende structuur. Dat is wat ik als de hoogste vorm van wiskunde beschouw.'

Figuur 3:

Het 'geslacht' van een Riemannoppervlak is het aantal gaten dat erin zit. De bol heeft geslacht 0, de ring geslacht 1, en de afgebeelde krakeling geslacht 2.

a = 2875

a = 609250

a = 3172 06375

a = 24 24675 30000

a = 22930 58888 87625

a = 248 24974 21180 22000

a = 2 95091 05057 08456 59250

a = 3756 32160 93747 66035 50000

a = 50 38405 10416 98524 36451 06250

a = 70428 81649 78454 68611 34882 49750

De eerste tien 'krachtkoppelingsconstanten'. Wiskundigen konden alleen de eerste drie berekenen; fysici hebben de waarde van de overige zeven met behulp van de stringtheorie voorspeld.

    • Jan van de Craats