Het gelijk van Fermat

Het deze zomer gepresenteerde bewijs van de laatste stelling van Fermat is nog steeds niet volledig gecontroleerd, maar tot nu nog zijn er geen lacunes gevonden. De geschiedenis van 3,5 eeuw Fermat, van Pythagoreïsche drietallen tot elliptische krommen.

Op 6 november is er een symposium over Fermat georganiseerd door de Vakgroep Wiskunde van de Universiteit Utrecht en het Wiskundig Genootschap. 6 nov. 9.45-16.30. Tel. 030-531430.

Op 12 nov. worden in Nijmegen twee lezingen over Fermat gegeven. Inl. 080-652993.

Pierre de Fermat (1601-1665), raadsheer aan het Hooggerechtshof van Toulouse en amateurwiskundige, kon niet vermoeden dat een opmerking die hij in 1637 in de kantlijn van een boek schreef, meer dan drie eeuwen lang tal van wiskundigen hoofdbrekens zou blijven bezorgen. Dat boek was de in 1621 door de Franse landedelman Claude Gaspar Bachet verzorgde editie van de Aritmetica van Diophantos, een Griekse verhandeling over rekenkunde uit de derde eeuw na Christus. Het achtste probleem van deel II daarvan gaat over het schrijven van een kwadraat als som van twee kleinere kwadraten; een voorbeeld is de bekende kwadratensom 5 = 4 + 3. Diophantos laat aan de hand van een ander voorbeeld zien hoe je dat probleem in het algemeen kunt aanpakken, en Fermat schrijft dan in de kantlijn: Het is echter onmogelijk een derdemacht te schrijven als som van twee derdemachten, of een vierdemacht als som van twee vierdemachten, of in het algemeen een willekeurige macht hoger dan twee als de som van twee overeenkomstige machten. Ik heb een werkelijk schitterend bewijs voor deze stelling gevonden, maar deze marge is te smal om het te bevatten.'

Helaas noteerde Fermat, althans voor zover wij weten, zijn schitterende bewijs' ook nergens anders, zodat latere wiskundigen met twee vragen bleven zitten: had Fermat inderdaad een sluitend bewijs? En, belangrijker nog: is die stelling eigenlijk wel waar?

Die laatste vraag schijnt nu bevestigend beantwoord te kunnen worden: op 23 juni van dit jaar kondigde de wiskundige Andrew Wiles uit Princeton aan dat hij de juistheid had bewezen van een speciaal geval van het zogenaamde vermoeden van Yutaka Taniyama en André Weil uit de algebraïsche meetkunde. Omdat al in 1987 door Kenneth Ribet was aangetoond hoe daaruit dan een bewijs van Fermats stelling volgt, zou Wiles daarmee dus en passant een van de meest intrigerende problemen uit de geschiedenis van de wiskunde hebben opgelost. De resultaten van Wiles en Ribet zijn veel te ingewikkeld om aan niet-specialisten uit te leggen (voor wie het weten wil: Wiles zou hebben bewezen dat elke semi-stabiele elliptische kromme over de rationale getallen modulair is, en zijn bewijs beslaat meer dan 200 bladzijden). Maar iets van de wiskundige gedachtenwereld van Fermat kun je wèl laten zien, en zo zal dan misschien ook duidelijk worden waarom Fermat en zijn navolgers het überhaupt de moeite waard vonden om zich bezig te houden met zulke op het eerste gezicht bizarre getallenproblemen. En in het bijzonder waarom Fermats kanttekening, die er op neer komt dat er geen positieve gehele getallen a, b en c bestaan die voldoen aan de vergelijking an+ bn = cn als n groter is dan 2, sindsdien zoveel wiskundigen is blijven intrigeren.

Had Fermat een bewijs?

Op de vraag of Fermat zelf een sluitend bewijs van zijn stelling bezat, zal wel nooit een afdoend antwoord gegeven kunnen worden; de meeste deskundigen geloven echter dat Fermat hier zijn hand overspeeld heeft. Zeker is dat hij een bewijs had voor het geval n = 4 (dat blijkt uit andere aantekeningen) en het is heel aannemelijk dat hij ook een bewijs voor n = 3 bezat. Maar waarschijnlijk had hij ten onrechte het idee dat hij zijn methode ook voor willekeurige hogere machten kon toepassen. Het bekend maken van bewijzen was in die tijd trouwens nog niet zo gebruikelijk. Men meldde zijn resultaten vaak gewoon in de vorm van een opgave; wie daar belangstelling voor had moest dan maar laten zien dat hij net zo knap was. Ook Fermat maakte de meeste van zijn ontdekkingen zonder bewijs bekend. Hij schreef ze in brieven aan geleerden als Pascal, Descartes, Mersenne en onze beroemde landgenoot Christiaan Huygens. Na zijn dood in 1665 besloot zijn zoon Samuel om zijn vaders aantekeningen en brieven uit te geven - Fermat zelf had vrijwel niets op het gebied van de wiskunde gepubliceerd. Zo verscheen in 1670 een nieuwe versie van Bachets editie van Diophantos, met rechts de oorspronkelijke Griekse tekst, links Bachets Latijnse vertaling ervan en als intermezzi de opmerkingen die Pierre de Fermat, Senator Tholosanus (magistraat uit Toulouse), er in zijn exemplaar uit 1621 had bijgeschreven.

Kleitablet

Het tekstgedeelte waar Fermats beroemde kanttekening bij staat, gaat over kwadratensommen. We hebben al de som 3 + 4 = 5 genoemd, maar er zijn er nog veel meer, bijvoorbeeld 5 + 12 = 13, 8 + 15 = 17 of 9 + 12 = 15. De laatste is een beetje flauw, want dat is gewoon de (3,4,5)-som waarin alle getallen met 3 zijn vermenigvuldigd. Maar de eerste twee zijn wèl echt anders.

Natuurlijk doen dit soort sommen denken aan de bekende Stelling van Pythagoras over de zijden van een rechthoekige driehoek (a + b = c), en zulke drietallen worden dan ook pythagoreïsche drietallen genoemd. Als de drie getallen a, b en c geen delers gemeen hebben, spreekt men over een primitief drietal. De drietallen (3,4,5), (5,12,13) en (8,15,17) zijn dus primitief, maar (9,12,15) is het niet. Een heel curieus primitief pythagoreïsch drietal is (1032, 1705, 1993) met het jaartal 1993 erin; wie het niet gelooft, moet het maar narekenen!

Hoeveel primitieve drietallen zijn er en hoe kun je ze vinden? Dat probleem moet rekenaars al duizenden jaren geleden hebben bezig gehouden, want we treffen zulke drietallen reeds aan op een kleitablet uit Mesopotamië uit de periode tussen 1900 en 1600 voor Christus. In spijkerschrift staat daarop een tabel met vijftien primitieve pythagoreïsche drietallen. De eerste drie luiden: (119, 120, 169), (3367, 3456, 4825) en (4601, 4800, 6649), en met een rekenmachine kun je ze direct controleren. Zo geeft de derde, geschreven als kwadratensom, 4601 + 4800 = 6649, oftewel 21169201 + 23040000 = 44209201, en dat klopt. De Babyloniërs hadden geen rekenmachines, maar ze konden blijkbaar wel uitstekend rekenen. En het is ook duidelijk dat je zulke drietallen niet zo maar even uit je mouw schudt, daarvoor zijn die getallen te groot. Hoe hebben de Babyloniërs ze gevonden? En waar gebruikten ze ze voor? Bij hun astronomische berekeningen? Of noteerden ze ze alleen maar omdat ze er nu eenmaal door gefascineerd werden, net zoals Fermat en vele wiskundigen na hem?

We weten niet of de Babyloniërs al formules hadden om pythagoreïsche drietallen te maken. De Grieken in elk geval wel: Euclides (derde eeuw voor Christus) kende de betrekking

(p - q) + (2pq) = (p + q) die je kunt controleren door de haakjes bij de kwadraten uit te werken. Deze formule geldt voor alle combinaties van p en q, en door voor p en q twee willekeurige positieve gehele getallen te kiezen, krijg je dus automatisch een pythagoreïsch drietal. Zo geeft p = 2, q = 1 de betrekking 3 + 4 = 5, dus het pythagoreïsche drietal (3,4,5); de keuze p = 3, q = 2 geeft het drietal (5,12,13) en p = 4, q = 1 geeft (15,8,17).

Met de (p,q)-formule kun je bewijzen dat er oneindig veel verschillende primitieve pythagoreïsche drietallen zijn, en omgekeerd kun je ook laten zien dat elk primitief drietal door een geschikte (p,q)-keuze gevonden kan worden (zie het kader 'Pythagoreïsche drietallen').

Eulers bewijzen

De kring van belangstellenden voor Fermats getallentheoretische resultaten bleef aanvankelijk zeer beperkt. Daar kwam pas verandering in toen Leonhard Euler (1707- 1783), de grootste wiskundige van de achttiende eeuw, door zijn vriend Christian Goldbach op Fermats resultaten attent werd gemaakt. Gaandeweg kreeg de getallentheorie Euler in haar greep, en hij slaagde erin bijna al Fermats stellingen van nette bewijzen te voorzien. Eulers maakte de getallentheorie definitief tot een belangrijk wiskundig onderzoeksveld. Hij toonde aan dat het niet ging om geïsoleerde curiositeiten maar om een samenhangend, gestructureerd gebied waarvan de studie niet alleen op zichzelf de moeite waard is, maar dat ook aanrakingspunten heeft met allerlei andere takken van de wiskunde. Daarmee gaf hij Fermats getallentheoretische resultaten de erkenning die ze toekwam, en zo inspireerde hij ook andere grote wiskundigen zich op dit terrein te wagen. In de eerste plaats Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Adrien-Marie Legendre (1752-1833) en Carl Friedrich Gauss (1777- 1855), wiens indrukwekkende boek Disquisitiones arithmeticae uit 1801 in de Geschiedenis van de Wiskunde van Dirk Jan Struik 'het begin van de moderne getallentheorie' wordt genoemd. Na Gauss hebben ook veel grote wiskundigen van de negentiende en de twintigste eeuw op dit terrein activiteiten ontplooid, en de banden met andere takken van de wiskunde zoals de algebra, de complexe functietheorie, de combinatoriek en de algebraïsche meetkunde, zijn steeds intensiever geworden. De laatste decennia heeft de komst van de computer ertoe bijgedragen dat de getallentheorie, die eens het bolwerk van de meest 'zuivere', abstracte wiskunde was, thans allerlei onverwachte toepassingen kent, bijvoorbeeld in de communicatietheorie, de coderingstheorie en de cryptografie.

Fermats descente infinie

Onder de resultaten van Fermat die door Euler bewezen zijn, is de stelling dat elk priemgetal dat na deling door 4 de rest 1 geeft, te schrijven is als som van twee kwadraten. Voorbeelden van zulke priemgetallen zijn 5, 13, 17, 29, 37, 41 of, veel groter, 1993 (inderdaad, 1993 is een priemgetal!). De bijbehorende kwadratensommen zijn 5 = 1+2, 13=2+3, 17=1+4, 29=2+5, 37=1+6, 41=4+5, 1993=12+43.

Nu is het vinden van zo'n kwadratensom bij een gegeven priemgetal op zich natuurlijk geen kunst: probeer gewoon maar alle mogelijkheden. Maar bewijzen dat het nooit spaak loopt, is een heel ander verhaal; daar komt 'echte wiskunde' aan te pas: een leidend idee en een sluitende redenering.

In een brief aan Huygens waarin Fermat deze stelling vermeldt, geeft hij de details van zijn bewijs niet prijs. Hij schrijft echter wel dat hij er zijn zelf ontwikkelde methode van de voortdurende afdaling' (descente infinie) bij gebruikt heeft. Fermat was erg trots op die methode en paste haar veelvuldig toe. Het is een soort bewijs 'uit het ongerijmde': je neemt aan dat de stelling niet waar is voor een zeker priemgetal van de beschreven vorm (dwz. een viervoud plus 1) en laat dan zien dat uit die aanname volgt dat er ook een kleiner priemgetal van die vorm moet zijn waarvoor de stelling niet geldt. Dat leidt op zijn beurt weer tot een nóg kleiner priemgetal waarvoor de stelling dan niet zou gelden, enzovoorts. Zo doorgaande moet je echter na een zeker aantal stappen het kleinste priemgetal bereiken dat een viervoud plus 1 is, en dat is 5. Maar voor 5 is de stelling ten duidelijkste wèl waar: 5 = 1 + 2. De oorspronkelijke aanname leidt dus tot een ongerijmdheid en daaruit volgt dat die veronderstelling, namelijk dat er zo'n priemgetal is waarvoor er niet zo'n kwadratensom zou zijn, onhoudbaar is. Het bewijs is daarmee rond. Euler heeft inderdaad langs deze lijnen een bewijs van deze stelling van Fermat kunnen construeren. Fermats eigen bewijs is nooit tevoorschijn gekomen.

Fermats grote stelling

Wat wel bewaard is gebleven, is Fermats bewijs van zijn grote stelling' voor n = 4, dat wil zeggen de stelling dat er geen positieve gehele getallen zijn die voldoen aan a + b = c. Ook daarbij hanteerde hij zijn descente infinie. Het bewijs is niet moeilijk te volgen; Fermat maakte gebruik van de algemene formule voor primitieve pythagoreïsche drietallen en verder alleen maar van elementaire middelbare-schoolalgebra. (De geïnteresseerde lezer vindt het in een apart kader.)

In zijn boek Number theory - an approach through history geeft de wiskundige André Weil een reconstructie van wat waarschijnlijk Fermats bewijs moet zijn geweest voor het veel moeilijkere geval n = 3, ook weer met zo'n afdalingsmethode. Euler maakte in 1753 bekend dat hij dit ook onder de knie had; later zou hij een bewijs publiceren. Daarmee waren er dus bewijzen gevonden voor n = 3, n = 4 en natuurlijk ook voor alle waarden van n die een geheel veelvoud zijn van 3 of 4. Een oplossing bijvoorbeeld voor n = 15 (5 maal 3) zou namelijk direct ook een oplossing voor n = 3 geven, want je kunt a + b = c schrijven als (a) + (b) = (c), en omdat we sinds Euler en Fermat weten dat er geen oplossing in derdemachten bestaat, bestaat er dus ook geen oplossing voor n = 15. Om het bewijs van Fermats vermoeden te voltooien is het dus voldoende om aan te tonen dat Fermats vergelijking geen oplossingen heeft als n een willekeurig priemgetal groter dan 4 is.

Verdere stappen

Fermat grote vermoeden kwam na Eulers dood opnieuw in de belangstelling te staan toen de Parijse Academie er in 1816 een prijsopgave van maakte. Gauss hoorde ervan en merkte op dat het probleem als zodanig hem maar weinig interesseerde, maar dat de oplossing met enig geluk misschien wel verkregen zou kunnen worden als nevenresultaat van veel bredere onderzoekingen - een opmerking die in het licht van de meest recente ontwikkelingen profetisch is gebleken! Maar Gauss heeft zich verder niet meer met Fermats vermoeden bezig gehouden. Rond 1825 zou de jonge Duitse wiskundige Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) de eerste vooruitgang sedert Euler boeken: hij legde de basis van een bewijs voor het geval n = 5; Legendre zette vervolgens de puntjes op de i. Korte tijd later bedwong Gabriel Lamé (1795-1875) het geval n = 7 en in 1847 zette Eduard Kummer (1810-1893) een grote stap voorwaarts door met nieuwe algebraïsche hulpmiddelen de stelling voor alle priemgetallen kleiner dan honderd te bewijzen. Sindsdien zijn de grenzen telkens verder opgeschoven; de laatste decennia is daarbij natuurlijk dankbaar gebruik gemaakt van de computer. De meest recente berichten van dat front spreken over een grens van 4 miljoen. Toch biedt die weg weinig perspectieven voor een algemene oplossing: er blijven zo immers nog steeds oneindig veel waarden van n over waarvoor het vermoeden onbewezen is. Pas de laatste tien jaar is er zicht gekomen op een algemene aanpak, dat wil zeggen een aanpak van het probleem die niet telkens weer afzonderlijke n-waarden aanvat, maar als het ware alle n tegelijk.

Elliptische krommen

De ideeën daarvoor kwamen onder andere van Jean-Pierre Serre, Gerhard Frey en Kenneth Ribet. Frey stelde voor om een vermeende oplossing (a,b,c) van Fermats vergelijking in verband te brengen met de zg. elliptische kromme waarvan de vergelijking luidt y = x(x - an)(x + bn) Elliptische krommen zijn geen ellipsen maar derdegraads krommen. Ze danken hun naam aan het feit dat ze voor het eerst opdoken bij de studie van elliptische integralen, dat wil zeggen integralen waarmee men de omtrek van een ellips kan berekenen. Elliptische krommen staan al heel lang in het centrum van de wiskundige belangstelling: een recente toepassing ervan vinden we bijvoorbeeld in de coderingstheorie, waar ze gebruikt worden om foutenherstellende codes te construeren. Ook het vermoeden van Taniyama en Weil heeft betrekking op eigenschappen van elliptische krommen. Het verband tussen a, b en c uit Fermats vergelijking an + bn = cn kan vertaald worden in bepaalde eigenschappen van de bijbehorende elliptische kromme van Frey, en als het bewijs van Andrew Wiles correct is, zou dit impliceren dat zo'n kromme bepaalde 'onmogelijke' eigenschappen zou hebben. Deze tegenspraak bewijst dan dat zo'n Fermat-drietal (a,b,c) niet bestaat, waarmee Fermats vermoeden eindelijk definitief bewezen zou zijn.

De thans 87-jarige André Weil, een van de opstellers van het vermoeden waarvan Andrew Wiles nu dus waarschijnlijk een speciaal geval bewezen heeft, zal met veel voldoening van het grote nieuws rond Fermat kennis hebben genomen. Yutaka Taniyama, de andere opsteller, heeft het niet meer meegemaakt: in 1958 maakte hij, slechts 31 jaar oud, een eind aan zijn leven.

Pythagoreïsche drietallen

'Getal' betekent in het vervolg steeds positief geheel getal. Een primitief pythagoreïsch drietal (a,b,c) is een drietal getallen zonder gemeenschappelijke delers dat voldoet aan a+b=c. Zelfs twee van de drie getallen kunnen dan geen deler gemeen hebben, want uit de betrekking a+b=c zou volgen dat het derde getal dan ook door die deler gedeeld kan worden.

Stel dat (a,b,c) een primitief drietal is. We zullen laten zien dat er dan getallen p en q zijn waarvoor geldt dat

a=p-q, b=2pq, c=p+q.

Het kwadraat van een even getal is altijd een viervoud (want (2m)=4m) en het kwadraat van een oneven getal is altijd een viervoud plus 1 (want (2m+1) = 4m + 4m + 1), dus de som van twee oneven kwadraten kan nooit zelf een kwadraat zijn, want zo'n som is een viervoud plus 2. Er kan dus geen betrekking a+ b=c zijn waarin a en b allebei oneven zijn. Allebei even kan wel, maar dan is c ook even, dus dan hebben we geen primitief drietal meer.

In het primitieve drietal (a,b,c) is dus precies een van de twee getallen a en b even, stel dat dit b is. De ander, a, is dan oneven, net als c. Schrijf de betrekking tussen a, b en c als b = c-a=(c+a)(c-a). Omdat a en c oneven zijn, zijn c+a en c-a even, net als b. Stel b = 2u, c+a = 2v en c-a = 2w en deel links en rechts door 4, dan ontstaat u = vw.

Merk op dat v en w geen delers gemeen hebben. Een eventuele gemeenschappelijke deler van beide zou namelijk ook een deler zijn van v+w=c en van v-w=a, maar a en c hebben, zoals we weten, geen delers gemeen. Omdat het product vw een kwadraat is, en v en w geen delers gemeen hebben, moeten ze elk zelf een kwadraat zijn: v = p en w = q voor zekere p en q. Nu geldt inderdaad a=v-w=p-q, c=v+w=p +q en b=(2u)=4vw=4pq dus b=2pq. Hiermee is het bewijs voltooid. Merk nog op dat p en q natuurlijk ook geen delers gemeen kunnen hebben omdat het drietal (a,b,c) een primitief drietal is.

Fermats bewijs voor n = 4

Schrijf de vergelijking a + b = c als a + b = (c), of, met d = c, als a + b = d Met Fermats methode van de voortdurende afdaling (descente infinie) laten we zien dat deze vergelijking geen positieve geheeltallige oplossingen heeft. A forteriori geldt hetzelfde dan voor Fermats vergelijking met n = 4.

Neem aan dat (a,b,d) voldoet aan a+b=d. We kunnen ook aannemen dat a, b en d geen delers gemeen hebben. Het drietal (a, b, d) is dan een primitief pythagoreïsch drietal. Er zijn dus (zie het stuk 'Pythagoreïsche drietallen') positieve gehele getallen p en q waarvoor

a=p-q, b=2pq, d=p+q en waarbij p en q geen gemeenschappelijke delers hebben. Omdat b = 2pq even is, is a = p - q oneven, en dus een viervoud plus 1 (het is immers een kwadraat). Dit kan alleen als p oneven is en q even, en dan zijn ook p+q en p-q beide oneven.

Het is nu eenvoudig om na te gaan dat van de vier getallen p, 2q, p-q en p+q geen tweetal een deler gemeen kan hebben. Omdat (ab) = (a)(b) = 2pq(p - q) = p(2q)(p-q)(p+q) een kwadraat is, moet elk van de vier factoren in het rechterlid op zichzelf een kwadraat zijn. Stel

p = k, 2q = m, p+q = u, p-q = v.

De getallen u en v zijn beide oneven en ze hebben geen delers gemeen. De getallen u+v en u-v zijn dus allebei even, maar behalve 2 kunnen ze geen andere gemeenschappelijke delers hebben. Hun produkt is een kwadraat, want (u+v)(u-v)=u-v=2q=m, en dus zijn ze zelf elk 2 maal een kwadraat. Stel u+v = 2r en u-v = 2s. Dan geldt u=r+s en v=r-s dus 2k=2p=u+v=(r+s)+(r-s)=2r+2s en daaruit blijkt dat het drietal (r,s,k) voldoet aan r+s=k.

Dat is precies zo'n vergelijking als waar we mee begonnen zijn, alleen is nu het rechterlid k kleiner dan het oorspronkelijke rechterlid d. Er geldt namelijk k = p ¢1 p

Zo doorgaande vinden we steeds kleinere rechterleden, en uiteindelijk komen we uit op een vergelijking van de vorm a + b = 1, hetgeen onmogelijk is omdat je 1 niet kunt schrijven als som van twee (positieve) vierdemachten. Daarmee is de descente met een tegenspraak afgesloten, en dus is daarmee ook Fermats stelling voor n = 4 bewezen.