Bewijs voor stelling Fermat is "waarschijnlijk correct'

De laatste stelling van Fermat lijkt eindelijk bewezen. Het resultaat op zichzelf is niet belangrijk, de wiskunde die er toe leidde wel.

Cambridge, vorige week woensdagochtend. In het Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences houdt de 40-jarige getaltheoreticus Prof. Andrew Wiles van Princeton University een praatje. Het is de derde lezing uit een reeks van drie, met als onderwerp "Modulaire vormen, elliptische krommen en Galois-representaties'.

In normale omstandigheden al reden voor opwinding, maar vandaag hangt er een bijzondere spanning. Er gaat een hardnekkig gerucht en niemand wil het verhaal van Wiles missen.

Eindelijk, helemaal aan het eind, gebeurt het. Bij wijze van uitsmijter laat Prof. Wiles zien dat hij, met wat hij in drie uur aan wiskundige argumentatie heeft gepresenteerd, en passant het bewijs heeft geleverd voor de beroemde laatste stelling van Fermat. De zaal barst los in een ovationeel applaus.

Wiles ontdekte pas in mei dat hij "per ongeluk' Fermat's laatste stelling had bewezen. Wiles schreef zijn bewijs uit in een manuscript van 200 bladzijden, dat inmiddels aan een wetenschappelijk tijdschrift is aangeboden en door collega's wordt nagevlooid op mogelijke fouten.

Het bewijs is nog lang niet compleet geverifieerd, maar er zijn maar weinig experts die er aan twijfelen dat het dit keer raak is. Eigenlijk hing het bewijs van Fermat's laatste stelling al een jaar of wat in de lucht. Sinds 1987 was duidelijk welke horde de kansrijkste weg naar succes nog versperde, en het is exact deze horde die Wiles nu heeft genomen.

Provinciaal parlement

Fermat's laatste stelling vormde eeuwenlang het beroemdste onopgeloste probleem uit de wiskunde. Het theorema werd rond 1637 geformuleerd door de wiskunde-amateur Pierre de Fermat (1601-1665), die het in de kantlijn van een boek krabbelde.

Fermat was werkzaam als jurist en magistraat in dienst van het provinciale parlement in Toulouse. Hij werkte zich door zelfstudie op tot een der allergrootsten van zijn tijd. Als volwaardige evenknie van Descartes en Newton, wordt Fermat door biografen wel de "Koning der amateurs' genoemd.

Fermat koesterde een grote belangstelling voor de getaltheorie, een hobby die waarschijnlijk was genspireerd op het werk van de Griekse wiskundige Diophantos. Fragmenten uit diens Arithmetica (uit de derde eeuw voor Christus) overleefden de val van Constantinopel en werden, voorzien van commentaar, in 1621 uitgegeven door de Fransman Claude Bachet.

Probleem 8 in Boek II van deze editie luidt: "Schrijf een kwadraat als de som van twee andere kwadraten'. Ofwel, vind getallen x, y en z zodanig dat x + y = z. Een simpel probleem, immers: de vergelijking is die van de stelling van Pythagoras die zegt dat voor elke rechthoekige driehoek het kwadraat van de hypothenuse gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechte zijden. Ieder schoolkind weet dat er rechthoekige driehoeken zijn waarvoor die drie kwadraten hele getallen zijn - zoals de "3-4-5-driehoek': 3 + 4 = 5.

Dat wist ook Fermat. Maar, schreef hij in het Latijn in de kantlijn, ""Aan de andere kant is het onmogelijk om een derde macht als de som van twee derde machten te schrijven of een vierde macht als de som van twee vierde; of, algemeen geformuleerd, om willekeurig welke macht hoger dan twee te schrijven als de som van twee overeenkomstige machten. Ik heb een werkelijk schitterend bewijs voor deze stelling, maar deze marge is te smal om haar te bevatten''.

Die laatste claim was, zoals we nu weten, zeer boud en vermoedelijk zelfs onwaar. Immers, na Fermat hebben 15 generaties wiskundigen tevergeefs getracht de bedrieglijk eenvoudig ogende stelling te bewijzen (de laatste van Fermats nagelaten stellingen waarvoor dat nog niet was gebeurd). In het onwaarschijnlijke geval dat Fermat de waarheid sprak, was zijn uitspraak een gigantisch understatement. Het bewijs zou, gezien de 200 pagina's van Wiles, zeker niet in de kantlijn zou hebben gepast.

Ongerijmde

De laatste stelling van Fermat beweert dat iets niet kan, en dat is lastiger aan te tonen dan de bewering dat iets wel kan. De geboden aanpak is een bewijs uit het ongerijmde: veronderstellen dat het "verbodene' wel kan en vervolgens een tegenspraak afleiden.

De afgelopen 350 jaar hebben vele wiskundigen voor steeds hoger opklimmende exponenten n zulke bewijzen weten te leveren. Waarmee uiteraard de hele stelling allesbehalve was bewezen, want er blijven altijd oneindig veel exponenten n over. Toch koos men maar voor deze weg, ten eerste omdat men niets beters kon verzinnen en ten tweede omdat men hoopte zo nieuwe wiskundige technieken te ontwikkelen waarmee een algemeen bewijs ooit wel zou kunnen worden geleverd.

De eerste stap in deze richting zette Fermat vermoedelijk zelf, met het geval n = 4. En ruim een eeuw later, in 1753, eiste Leonard Euler het bewijs op voor n = 3. Boven n = 4 werd het moeilijker. Het geval n = 5 werd pas in 1825 gekraakt door de Fransen Peter Gustav Lejeune Dirichlet en Adrien-Marie Legendre. En Gabriel Lamé moest 14 jaar later al zeer ingewikkelde trucs uit de doos halen om het theorema voor n = 7 aan te tonen. Het geval n = 6 kon men overigens rustig overslaan: dat was met n = 3 al impliciet bewezen. Na n = 4 hoefde men slechts op te klimmen langs de reeks van de priemgetallen (hele getallen die alleen maar deelbaar zijn door 1 en zichzelf, zoals 5, 7, 11, 13, 17...).

Dat was echter makkelijker gezegd dan gedaan. Na n = 7 stagneerde de ontwikkeling en moest er een doorbraak komen. In 1847 forceerde Lamé zo'n doorbraak, op grond waarvan hij prompt claimde het algemene bewijs te hebben gevonden. Maar hij had in zijn overmoed een lelijke vergissing begaan en ging daarmee smadelijk af. In datzelfde jaar 1847 zorgde de Duitser Eduard Kümmer voor een andere grote sprong voorwaarts, die hem in staat stelde om de stelling voor alle priem-exponenten onder de 100 te bewijzen.

Tot tien jaar geleden gebeurde er daarna eigenlijk weinig van belang. De enige progressie bestond uit het opvoeren van de reeks "bewezen' exponenten n - de teller staat, dank zij berekeningen op een NeXT computer, tegenwoordig op 4 miljoen. Pas in 1983 wist een 29-jarige Duitse wiskundige, Gerd Faltings, weer een belangrijke stap te zetten. Hij bewees dat de Fermat-vergelijking voor n groter dan 2 hooguit een eindig aantal "primitieve' oplossingen heeft, een belangrijk resultaat dat hem in 1986 de Fields Medal (de "Nobelprijs' van de wiskunde) opleverde.

Maar ook Faltings wees niet de weg naar een algemeen bewijs. Die eer viel te beurt aan de Amerikaanse getaltheoreticus Kenneth Ribet, thans verblijvend aan het Isaac Newton Institute in Cambridge. In 1987 wist hij aan te tonen wat een Duitse collega, Gerhard Frey, al enkele jaren daarvoor had geopperd, namelijk dat er een connectie bestond tussen de laatste stelling van Fermat en het zogeheten Taniyama-vermoeden.

Dit vermoeden, in 1954 geformuleerd door de Japanner Yukata Taniyama, heeft betrekking op elliptische curven en lijkt dus op het eerste gezicht niets met getaltheorie te maken te hebben. Maar Ribet wist aan te tonen dat wanneer Taniyama klopt, Fermat er automatisch uit voortvloeit. Wiles' bijdrage is de laatste schakel in deze logische keten: hij heeft het vermoeden van Taniyama bewezen en daarmee impliciet de laatste stelling van Fermat.

Secretaresse

Op dit moment zijn collega-experts doende om Wiles' manuscript stap voor stap op juistheid te controleren. Naar verwachting kan dat een hoop tijd in beslag nemen. Zelf schaaft de auteur zijn manuscript, dat door een secretaresse in Princeton in allerijl is getikt, nog voortdurend bij - door typefouten te corrigeren en het commentaar te verwerken dat hij al heeft gekregen.

Toch hebben de experts alle vertrouwen. Prof. Ken Ribet bevestigt desgevraagd dat het bewijs ""hoogstwaarschijnlijk correct'' is. Per e-mail wijst hij op ""Wiles' onkreukbare reputatie, zijn zorgvuldige aandacht voor details, de prachtige keten van ideeën die aan het bewijs ten grondslag ligt en de eerste reacties van de mensen die het manuscript onder ogen hebben gehad.''

Uit wiskundig oogpunt, zo voegt Ribet hier aan toe, is het bewijs voor het vermoeden van Taniyama veel belangrijker dan de toepassing ervan op Fermat. Wat natuurlijk niet wegneemt dat het leuk is om de hardnekkigste breinbreker uit de geschiedenis van de wiskunde te hebben gekraakt. Als het bewijs echt klopt, maakt Wiles aanspraak op de Wolfskell-prijs van de Göttingse Academie van Wetenschappen, groot ongeveer 7500 DMark (toen deze prijs in 1908 werd ingesteld bedroeg hij 100.000 DMark, maar daar staat tegenover dat hij vlak na de Eerste Wereldoorlog, tijdens de devaluatie, minder waard was dan een cent). Volgens de reglementen zou de prijs op 13 september 2007 worden ingetrokken als er op die dag nog geen kloppend bewijs zou zijn geleverd. Wiles is dus zeer ruim op tijd.

Ook vele collega's zullen om praktische redenen blij zij met het resultaat. Voortaan zullen ze bevrijd zijn van de last van een grote stroom te controleren bewijzen - meestal afkomstig van amateur-wiskundigen. Een van hen maakt, aldus een commentaar in Nature vandaag, zelfs gebruik van voorgedrukte kaartjes die de inzender erop attent maken dat "de eerste fout voorkwam op ""regel ... bladzijde ... '' '. Studenten mogen bij wijze van oefening de juiste getallen op de stippeltjes invullen.

Die kaartjes kunnen binnenkort hopelijk bij het oud papier.