Zwembadparadox

De "Ingenieurskrant' van 17 december had een intrigerend raadsel. "Op een weegschaal staat een bekerglas met water. Wanneer men een thermometer in het water houdt, zonder de wanden of de bodem aan te raken, geeft de weegschaal dan evenveel, meer of minder gewicht aan dan daarvoor?'

Een inventarisatie van oplossingen in AW-omgeving leverde precies die antwoorden die de multiple-choice test toestond, met dat verschil dat men er een toelichting bij gaf. Wie meende dat het bekerglas lichter werd dacht aan adhesie-krachten tussen water en thermometer die het bekerglas omhoog trokken. Wie oordeelde dat het "absoluut niets' uitmaakte besefte dat de thermometer niets aan het gewicht van water en bekerglas kon veranderen - want hoe zou dat moeten. En wie dacht dat de beker zwaarder werd stelde zich een pingpong-balletje voor dat hij in het water probeerde te duwen. Dat zou zeker ook de weegschaal naar beneden duwen.

't Is gênant maar het experiment moest de doorslag geven en al voor de brievenweger stil stond was duidelijk wat iedereen over het hoofd had gezien: dat het water in het bekerglas stijgt, ongeacht aard en vorm het voorwerp dat men erin steekt. Altijd wordt het glas zwaarder.

De vraag is hoe het komt dat men dit hydrostatische probleem zo moeilijk doorziet. Zeker is het ook een kwestie van effecten "over het hoofd zien', maar het feit dat de literatuur wemelt van hydrostatische paradoxen (zie de American Journal of Physics tussen 1948 en 1963) toont aan dat er meer aan de hand is.

Essentieel voor het inzicht is het gegeven dat elk in water ondergedompeld lichaam van dat water een opwaartse kracht ondervindt gelijk aan het gewicht van het verplaatste water (Archimedes) en meer specifiek voor drijvende lichamen: dat het gewicht van het lichaam gelijk is aan het gewicht van het verdrongen water.

In de evenwichtssituatie geldt bovendien dat alle krachten en drukken (druk = kracht per oppervlak) binnen het beschouwde systeem elkaar opheffen, wat veel houvast geeft als men erin slaagt alle optredende krachten en drukken uit elkaar te houden. De speciale handicap van de Ingenieurstest is dat zo moeilijk voorstelbaar is dat een thermometer die tegen zijn eigen gewicht in omhoog moet worden houden tegelijk ook een kracht naar beneden (tegen de opwaartse kracht in) kan uitoefenen. (De Newtonse reactiekrachten zijn wel vaker slecht voorstelbaar.) Daar komt bij dat men niet erg gewend is aan experimenten waarbij slechts een deel van een vrij vloeistofoppervlak onder druk wordt gezet, zoals in dit geval (beschouw de thermometer als zuiger).

Een probaat hulpmidel in dit soort kwesties is het experiment naar het extreme (ja: het absurde) te extrapoleren zonder de essentie aan te tasten. Denkt men zich de thermometer vervangen door een lege reageerbuis of sigarenkoker dan wordt opeens duidelijk dat gewicht en dichtheid van de thermometer niet ter zake doen. Er verandert immers niets als de sigarenkoker wordt volgegoten met stalen fietskogeltjes. Overigens werd dat al verklapt in de formulering van het probleem: niet voor niets werd de thermometer niet nader omschreven.

Aan hetzelfde euvel lijdt een raadsel uit het boek The flying circus of physics van Jearl Walker (John Wiley & Sons, 1977). In een klein zwembad roeit een roeier in een roeiboot met een zware kei op schoot. Wat gebeurt er als de roeier die kei over boord gooit? Stijgt het niveau van het zwembadwater, blijft het gelijk of daalt het? Jearl Walker voegt er ter geruststeling aan toe dat beroemde (Amerikaanse) fysici als Robert Oppenheimer, George Gamow en Felix Bloch er desgevraagd niet uitkwamen. Black-out, heet dat.

Wie op tijd het juiste extreme analogon kiest (een minuscule, maar loodzware kei van een nog onbekend materiaal met fabelachtig hoge dichtheid) zal er geen moeite mee hebben: het water in het bad zal dalen.

Louter redenerend komt men makkelijk tot een andere conclusie: zolang de kei nog in de boot ligt zullen kei, roeier en boot samen een hoeveelheid water verplaatsen gelijk aan de som van hun massa's en het valt niet direct in te zien wat daaraan verandert als de kei over boord gaat. Tot men bedenkt dat de gezonken kei slechts zijn eigen volume aan water verplaatst.

Met dit nieuwe inzicht is het niet moeilijk meer een oordeel te geven over bijgaand plaatje dat een jaar of drie geleden uit De Volkskrant werd geknipt. Men ziet hoe het oplappen van de economie van de voormalige DDR ten koste gaat van de economie van de Bondsrepubliek. Het leeghozen van het kleine bootje doet het niveau van het lekwater in de grote boot stijgen waardoor die gevaarlijk diep komt te liggen. De kunstenaar werd de dupe van weer een andere hydrostatische paradox: we weten nu dat het waterniveau binnen de grote boot geen millimeter verandert.

Ter overpeinzing hier de geschiedenis van de kanovaarder die zeker wist dat hij een onbeperkte hoeveelheid whisky in zijn bootje kon laden zonder diepgang en drijfvermogen in gevaar te brengen omdat 40 procent Famous Grouse een lagere dichtheid heeft dan water. Met geen geld en goede woorden vanaf te brengen.