Kapseizen in de wiskunde; "Het kan je wel een maand kosten om een artikel te lezen. Maar wanneer de auteur het je voor het schoolbord uitlegt, snap je het kernidee binnen vijf minuten'

De Britse wiskundige Sir Christopher Zeeman wordt wel de profeet van de catastrofetheorie genoemd. Komende dinsdag houdt hij in Groningen een lezing. Een gesprek over vioolsnaren, meetkunde en controverses.

Zijn werkkamer kijkt uit op de beroemde Bodleian Library in hartje Oxford. Het is er een onbeschrijflijke bende. De vloer ligt bezaaid met nog niet gelezen, maar wel al vergeelde artikelen. Her en der staan bestofte koffers en actetassen, achter een van de CV-radiatoren hangt een fietswiel.

De meetkundige Sir Erik Christopher Zeeman (1925) is een stevige, goedlachse heer die ontvangt op kousevoeten. Alweer enige jaren is hij principal van Hertford College van Oxford University. Na een lange en vruchtbare carrière aan de iets noordelijker gelegen universiteit van Warwick, waar hij leiding gaf aan een zelf opgericht Wiskundig Onderzoeksinstituut, koos hij uiteindelijk voor de luwte van een bestuurlijke baan. Een baan die hem gelegenheid biedt om pas met zijn zeventigste met pensioen te gaan, maar hem niettemin nog enige ruimte laat voor onderwijs en onderzoek.

Zeeman: ""Ons College telt veertig Fellows en mijn taak is om de gemeenschap van docenten en studenten tot een hecht geheel aaneen te smeden. In onze ambtswoning houden mijn vrouw en ik voor dat doel geregeld ontvangsten. Ondertussen ben ik ook als deeltijdhoogleraar verbonden aan Gresham College in Londen. We hebben het hier reuze naar ons zin.''

Na een lunch met de Fellows, waar scheikunde en Camillagate de voornaamste onderwerpen van gesprek vormen, volgt een snelle kop koffie in de reading room. Daar toont Zeeman de portretten van beroemde Britten die hier ooit studeerden, onder wie John Donne, Jonathan Swift, Evelyn Waugh en de Bijbelvertaler William Tyndale (1490-1536) uit wiens werk Zeeman iedere zondag voorleest in de Chapel.

Zeeman geniet wijde bekendheid als uitdrager van de zogeheten catastrofetheorie, een wijze van wiskundig modelleren ontwikkeld door zijn Franse vriend en collega René Thom. De catastrofetheorie kreeg in de jaren zeventig een brede bekendheid onder het grote publiek, vermoedelijk door de apocalyptisch klinkende en (dus) tot de verbeelding sprekende naam. Binnen de wiskundige gemeenschap leidden de wat overtrokken claims over wat de theorie vermocht destijds tot een heftige controverse, die inmiddels al weer is uitgewoed.

Zeeman werd vorige week 68, maar krijgt nog geregeld invitaties voor het houden van lezingen. Komende dinsdag is het de beurt aan Groningen, waar hij op uitnodiging van zijn collega Floris Takens de Johann Bernoulli Lezing zal uitspreken. De titel van deze voordracht, die is bedoeld voor een algemeen publiek, luidt ""Controversy in Science: the ideas of Daniel Bernoulli and René Thom''. Daniel Bernoulli (17001782) was de in Groningen geboren telg uit een Zwitsers geslacht van beroemde wis- en natuurkundigen. Hij was de zoon van de Johann naar wie de lezing is genoemd en die tussen 1695 en 1705 in Groningen doceerde.

Zeeman: ""Ik ben me aan het inlezen over de problematiek van trillende vioolsnaren, het onderwerp waarover Daniel Bernoulli in de achttiende eeuw met zijn tijdgenoten Euler en d'Alembert in de clinch lag. Bernoulli opperde dat de vorm van een trillende snaar kon worden gemodelleerd als de som van een simpele sinuscurve en al diens harmonischen of boventonen. Hij had gelijk, maar het duurde pas tot 1822 eer dat ook daadwerkelijk werd bewezen. Ik zal in mijn lezing een parallel trekken met de catastrofetheorie, die tot een vergelijkbare controverse aanleiding heeft gegeven.''

Wat is het verband?

""De harmonische analyse van vioolsnaartrillingen en de catastrofetheorie hebben met elkaar gemeen dat ze continue fenomenen beschrijven die zich op een discontinue of discrete manier gedragen. Zulk gedrag druist nogal in tegen de intuïtie van de meeste mensen en heeft keer op keer aanleiding geven tot felle controverses.

""Je kunt de toegepaste wiskunde opdelen in vier categorieën, naar het discrete of continue karakter van de beschreven dingen èn van hun gedrag. Een dobbelsteen is een goed voorbeeld van een discreet ding met een discreet gedrag. De wiskunde die daar bij hoort is de waarschijnlijkheidsleer. Planeten zijn voorbeelden van discrete dingen met een continu gedrag. Die beschrijf je met gewone differentiaalvergelijkingen. En een voorbeeld van continue dingen die zich continu gedragen zijn golven. Die beschrijf je wiskundig met partiële differentiaalvergelijkingen.

""Hou je dus over de categorie van de continue dingen met discreet gedrag. Dat is een echte Doos van Pandora. Daarin zitten continu trillende snaren die discrete tonen voortbrengen, de golf-deeltjes uit de quantummechanica, en allerlei geleidelijk veranderende dingen die aanleiding geven tot plotselinge discrete sprongen. Voor de beschrijving van de verschijnselen uit deze categorie gebruik je wiskundige instrumenten als de Fourier-analyse, de quantumtheorie en de catastrofetheorie.''

Kunt u in één zin uitleggen waar de catastrofetheorie over gaat?

""Het is een manier van wiskundig modelleren van verschijnselen waar continue oorzaken aanleiding geven tot discontinue effecten. Een voorbeeld is water: je verhit het langzaam en opeens gaat het koken. Of een schip: je verschuift de lading zodat het langzaam gaat hellen en plotseling kapseist het. Of het pond sterling: je laat het vertrouwen erin gradueel zakken en je krijgt in een klap devaluatie. Of een land: onderdruk het harder en harder en je ontketent een revolutie. Je kunt de theorie op de meest uiteenlopende verschijnselen toepassen, in de de natuur- zowel als de sociale wetenschappen.''

En de "catastrofe' is dan de grote plotselinge verandering die optreedt als gevolg van de overschrijding van een kritische grens in de een of andere sleutelvariabele?

""Zo zou je het kunnen zeggen. De catastrofetheorie bekijkt de catastrofen op een meetkundige manier door ze als een soort grensvlak te beschrijven. René Thom heeft laten zien dat er, al naar gelang het aantal variabelen, zeven soorten elementaire catastrofen mogelijk zijn. De catastrofetheorie is geen wiskundige theorie in de strikte zin van het woord, maar meer een kwalitatieve manier van kijken naar bepaalde discontinue gedragingen van continue functies.''

Dat kwalitatieve ervan is precies waarom er nogal wat kritiek op is uitgeoefend. Sinds de euforie in de jaren zeventig zou de catastrofetheorie in gebreke zijn gebleven, dat wil zeggen haar beloften niet hebben ingelost.

""Met die kritiek ben ik het volkomen oneens. De catastrofetheorie is weliswaar kwalitatief, maar stelt je in staat om een globaal inzicht in een verschijnsel te krijgen, wat je weer verder helpt om het kwantitatief verder te onderzoeken. Zelfs in de biologie en de gedragswetenschappen hebben inzichten uit de catastrofetheorie geleid tot kwantitatieve voorspellingen die vervolgens experimenteel bevestigd konden worden.''

Kunt u een voorbeeld geven?

""Ja. Een aardig voorbeeld is het territoriumgedrag van mannetjes van de zogeheten pompoenzaadzonnevis. Die zitten op het nest om over de eieren en het nakroost te waken, en ze jagen eventuele indringers weg. Ik bedacht een simpel model waarbij de mannetjes twee stemmingen kunnen hebben: beschermend en agressief. Ik deed een voorspelling over hoe hun stemming veranderde als functie van de afstand tot het nest. Als een indringer het nest nadert, zal de stemming van de verdediger op een zekere afstand plotseling veranderen van beschermend in agressief. Hij zal de indringer wegjagen door hem een stukje te achtervolgen. Pas op een grotere afstand zal zijn stemming dan weer omschakelen van agressief naar vredelievend.

""Twee stemmingsovergangen en vooral: twee verschillende kritische afstanden. Dat was mijn model. Twee cirkels rond het nest - een waarbinnen de vis aanvalt en een wijdere tot waar hij een indringer achtervolgt - daar hadden biologen nog nooit aan gedacht. De Canadese bioloog Caldon is op mijn suggestie daadwerkelijk in een meer bij Toronto gaan kijken. In een serie proeven met houten nep-indringers stelde hij vast dat er inderdaad twee zulke cirkels rond het nest bestaan, met stralen van respectievelijk dertien en achttien centimeter. Het resultaat was heel eenduidig en nauwkeurig, de standaardafwijking bedroeg maar 2 millimeter. Niet wereldschokkend zult u zeggen misschien, maar men zou het nooit hebben onderzocht als ik niet vanuit de wiskunde op het idee was gekomen.''

U wordt wel beschreven als de "profeet' van de catastrofetheorie. Zijn er eigenlijk veel andere mensen die er mee werken?

""Welzeker. In het begin hield ik nog bij wat er allemaal verscheen. Zo publiceerde ik in 1981 een bibliografie met 1000 artikelen. Maar sindsdien ben ik de tel helemaal kwijtgeraakt. Een andere indicatie is het aantal aanvragen voor reprints van mijn eigen artikelen. dat waren er op een gegeven moment ongeveer 10.000, veel te veel natuurlijk om nog allemaal te beantwoorden.

""Eigenlijk ben ik blij dat de catastrofetheorie de laatste tien jaar weer zo'n beetje uit de schijnwerpers van de publieke belangstelling is verdwenen. De overtrokken claims liggen ver achter ons, het veld kan zich rustig ontwikkelen. De catastrofetheorie wordt tegenwoordig overal routinematig en zonder ophef toegepast. Als een stuk gereedschap. Het is net als met de differentiaal- en integraalrekening: toen die net waren uitgevonden was er ook veel commotie en controverse, maar tegenwoordig gebruikt men ze gewoon wanneer men ze nodig heeft.''

De catastrofetheorie is een meetkundige manier van modelleren. Maar u bent uw loopbaan begonnen als een algebraïsch topoloog. Waar gaat uw hart meer naar uit, naar de algebra of naar de meetkunde?

""Ik ben een uitgesproken meetkundige. Meetkunde is het deel van de wiskunde waarin je je visuele intuïtie gebruikt en waarin je kunt nadenken terwijl je werkt. Dat is bijzonderder dan het klinkt, want in andere takken van de wiskunde kan dat niet. Onze hersenen zijn geëvolueerd om te denken terwijl we kijken. Als je geen geometrische voorstelling hebt van wat je doet, dan ben je als wiskundige alleen maar mechanisch symbolen aan het manipuleren en heb je geen inzicht hebben in wat je doet.

""Veel grote onderzoekers in de wis- en natuurkunde vermeetkundigden hun problemen. Newton bijvoorbeeld, maar ook Einstein in zijn formulering van de algemene relativiteitstheorie. Het mooie is natuurlijk dat het mogelijk is om een algebraïsch probleem om te zetten in een meetkundige versie en vice versa.''

U heeft eens gezegd dat wiskunde een heel hiërarchisch en vertikaal vakgebied is. Wat bedoelde u daarmee?

""Dat je als student of als onderzoeker geen idee hebt van het gebied dat je je nog niet meester hebt gemaakt. Een tweedejaars kan onmogelijk begrijpen wat het jaar boven hem aan het doen is. Maar als hij terugkijkt naar de eerstejaars, lijkt alles ineens triviaal. Het heeft iets frustrerends: een onderwerp is totaal onbegrijpelijk tot aan het moment dat je je er meester van maakt, maar daarna is het in een klap triviaal. Dat maakt wiskunde ook zo moeilijk om te onderwijzen: de kinderen zitten ofwel vergeefs te worstelen en voelen zich overweldigd en vernederd, ofwel ze zijn verveeld zodra het kwartje is gevallen.''

Geldt dat ook op het niveau van professionele onderzoekers?

""Zeker. Het kan soms ontzettend moeilijk zijn om te volgen wat een collega bedoelt, zeker als je zijn ideeën alleen maar uit de literatuur tot je kunt nemen. Gelukkig versnelt direct persoonlijk contact het begrip aanmerkelijk. Een artikel kost je soms een maand om te lezen, terwijl je het kernidee binnen vijf minuten snapt wanneer de auteur het je uitlegt voor het schoolbord.''

Laatste vraag. U nadert de zeventig. Is een wiskundige op die leeftijd nog in staat tot oorspronkelijk werk?

""In mijn ervaring wel. Je wordt natuurlijk wel langzamer. Maar als je omringd bent door andere goede wiskundigen, kun je veel compenseren. Een paar jaar geleden nog heb ik een niet onbelangrijk theorema bewezen in de zuivere wiskunde, over een onderwerp dat te maken heeft met chaos. Ik moest een deadline halen omdat ik een artikel had toegezegd voor het eerste nummer van een nieuw tijdschrift. Om de gaten in de bewijsvoering op te vullen moest ik in één maand een tak van wiskunde leren waar ik niets van wist. Dat lukte me doordat ik experts om me heen had aan wie ik gerichte vragen kon stellen. Dat is denk ik het geheim.''

Johann Bernoulli Lezing 1992-1993. Sir Christopher Zeeman, FRS: Controversy in Science. The Ideas of Daniel Bernoulli and René Thom.

Dinsdag 16 feb., 19.30 uur. Aula, Academiegebouw RU Groningen. Broerstraat 5 Groningen. Inl.: 050-633987.