De toekomst van het realistisch wiskunde-onderwijs; Rekenen met reep en krant

Kunnen leraren wiskunde geven? De revolutionaire Nederlandse "realistische' methode, met voorbeelden uit het dagelijks leven, stelt hoge eisen aan de docent. Aan nascholing dreigt het echter te zullen ontbreken.

In het jaar 2000 zal er geen wiskunde-onderwijs meer bestaan. Er zullen geen leerboekjes meer zijn, het vak zal totaal zijn verdwenen.

Die provocerende voorspelling deed in 1976 prof. Hans Freudenthal (1905-1990), bij zijn afscheid als directeur van het Instituut Ontwikkeling Wiskunde-Onderwijs (IOWO) in Utrecht. De prognose werd niet ingegeven door somberheid, integendeel. Freudenthal bedoelde niet dat de wiskunde op school zou moeten verdwijnen, maar alleen dat ze naadloos in de rest van het onderwijs zou moeten overgaan. Wiskunde, aldus Freudenthal in 1976, is er ""om beleefd en uitgeleefd te worden, net als lezen, schrijven, knutselen, tekenen, zingen, ademhalen, in een geïntegreerd onderwijs''.

Zestien jaar later ziet het er niet naar uit dat deze droom werkelijkheid wordt. Het vak wiskunde zal ook na de eeuwwisseling wel degelijk op de lesroosters blijven voorkomen. Maar het karakter van het wiskunde-onderwijs zal, voor een groot deel dank zij het pionierswerk van Freudenthal, tegen die tijd wel onherkenbaar zijn veranderd. De integratie waar hij op doelde heeft voor een groot deel haar beslag gekregen in de zogeheten realistische benadering, waarbij het mathematiseren op de basis- en middelbare school wordt aangekweekt uitgaande van concrete, aan de dagelijkse werkelijkheid ontleende situaties. Met andere woorden, van onderwerpen uit de directe belangstellingssfeer van het kind.

Zo worden breuken geoefend aan de hand van het verdelen van chocoladerepen en wordt meetkundig inzicht aangekweekt door zelf te experimenteren met de "blinde hoek' van modelbootjes. Een geliefd onderwerp voor opgaven in het voortgezet onderwijs is ook het doorprikken van fouten met percentages in kranteberichten.

De invoering van die realistische aanpak is moeizaam bevochten, maar nu grotendeels voltooid. Zonder overdrijving kan men zeggen dat zich in de jaren zeventig en tachtig in het Nederlandse reken- en wiskundeonderwijs een revolutie heeft voltrokken. Meer dan 80 procent van de basisscholen werkt al met de realistische methoden; in 1985 werd het nieuwe vwo-programma wiskunde-A ingevoerd, in 1990 de programma's voor HAVO-A en -B; en in september jongstleden werd aan de minister een programma voor het hele leeftijdscohort van de 12- tot 16-jarigen aangeboden, dat waarschijnlijk per 1 augustus volgend jaar (met de invoering van de basisvorming) in zal gaan.

De coup van de "realistische school' is dus nagenoeg compleet, maar er zijn nog veel problemen en potentiële struikelblokken. Deze werden vorige week besproken op het symposium "Rekenen anno 2002', gehouden in Noordwijkerhout ter gelegenheid van het tweede lustrum van de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken Wiskunde Onderwijs (NVORWO).

Tot de sprekers op het symposium behoorden de hoogleraren Jan de Lange en Adri Treffers, beiden werkzaam op het Freudenthal Instituut te Utrecht. Ze gingen in op de vakinhoudelijke veranderingen waarmee "realistische' wiskundedocenten de komende tien jaar geconfronteerd zullen worden en op het schrijnende gebrek aan nascholing en begeleiding dat daarbij dreigt te ontstaan.

Kwadraten afsplitsen

Het realistisch reken- en wiskunde onderwijs streeft, aldus Jan de Lange, een heel ander doel na dan het traditionele: ""Stond vroeger alleen de wiskunde als vakgebied centraal, tegenwoordig komt dat pas op de derde plaats. Het belangrijkste doel van het realistische wiskunde-onderwijs nu is om de leerlingen voor te bereiden op de maatschappij. Door kinderen intensief te trainen in het afsplitsen van kwadraten en het bestuderen van functies kweek je geen "intelligent citizens'. Wel als je ze leert om concrete problemen analytisch te benaderen. Het voorbereiden van leerlingen op vervolgopleidingen komt op de tweede plaats en pas daarna komt de wiskunde-als-wiskunde die vroeger voorop stond.''

De realistische methode vereist een andere wijze van lesgeven, waarbij oude routines hun bruikbaarheid verliezen, de structuur van de les aan duidelijkheid inboet en de lesdoelen minder concreet zijn. In de praktijk betekent dit, dat aan de docent veel hogere eisen worden gesteld. Bovendien is het toetsen en examineren veel lastiger en ziet de leraar zich doorlopend geconfronteerd met nieuwe vakinhoudelijke en technologische ontwikkelingen.

De Lange: ""De benodigde nieuwe vorm van lesgeven is voor de meeste docenten bepaald geen fluitje van een cent. Vroeger had een les een duidelijke structuur, nu ligt de nadruk op voortdurende interactie met de leerlingen en heeft een les nauwelijks een begin of een einde. De docent heeft te maken met de ellende van verschillende antwoorden die allemaal goed zijn. Zijn gezag kan worden aangetast doordat leerlingen met een betere oplossing komen. Hij moet leerlingen van verschillende niveaus tegelijk bedienen en ga zo maar door.''

Daar komt bij dat de leermiddelentechnologie en ook de wiskunde zelf zich voortdurend ontwikkelen. Het Nederlandse wiskunde-onderwijs staat er volgens De Lange om bekend dat het snel inhaakt op nieuwe ontwikkelingen. Een opkomend vakgebied als de discrete wiskunde (combinatoriek, grafentheorie enz.) heeft zich al jaren geleden een plaatsje verworven in de bovenbouw van VWO en HAVO, maar ook disciplines als de chaostheorie en de cryptografie kunnen zich wellicht goed voor "realistische' onderwijsopgevan lenen.

Nieuwe technologie in het wiskunde-onderwijs zal zich vooral aandienen in de vorm van de graphic calculator. De Lange: ""De invoering van de computer in de jaren tachtig, beginnend met het zogeheten honderd-scholenproject, is een grote mislukking geworden. Er is in de scholen heel veel indrukwekkende hardware neergezet, maar software ho maar. Daar hebben wij toentertijd al op gewezen, maar het ministerie antwoordde dat die hardware nu eenmaal werd betaald met geld van Economische Zaken. Behalve aan software heeft het vooral ook ontbroken aan goede deskundigheidsbevordering.

""Veel meer toekomst zit er in de grafische zakrekenmachine. Die tekent op een klein schermpje functies, waarmee je allerlei bewerkingen kunt uitvoeren. Het voordeel daarvan is dat je hem kunt gebruiken zonder te hoeven verhuizen naar een computer-klaslokaal. De prijs is laag en zal alleen maar verder dalen. Er liggen nu al aanvragen bij het ministerie om het wiskundeprogramma vwo-B te herzien met het oog op de graphic calculator.

""Een andere technologische ontwikkeling die mogelijk toekomst heeft, is de interactieve video (al dan niet met CD). De nu beschikbare software blijft nog een beetje in knulligheid steken, maar de mogelijkheden zijn in principe groot. Op het Freudenthal Instituut zijn we bezig met een software-programma gekoppeld aan beelden van een lopende olifant. Je ziet tegelijkertijd de olifant van opzij en de pootafdrukken die hij maakt van boven. Je kunt de beelden op allerlei manieren manipuleren en dat geeft een goede ingang voor het bespreken van periodiciteit en andere interessante wiskundige verschijnselen.''

Export bevorderen

Het Nederlandse realistische reken- en wiskundeonderwijs staat bekend in de gehele wereld. Het is zelfs een succesvol exportprodukt: in de Verenigde Staten loopt tot 1996 het zogeheten Middle School Project, dat geheel is geïnspireerd op de Leerplan-ontwikkeling van het Freudenthal Instituut. Toch is de veiligstelling van de "revolutie' in eigen land allesbehalve zeker.

Volgens Adri Treffers, wiens onderzoeksterrein ligt bij de basisschool, is de innovatie nog ""allerminst voltooid'' en is al te groot optimistisme niet op zijn plaats. Met de nascholing en de deskundigheidsbevordering van leraren en vakontwikkelaars is het zelfs uitermate somber gesteld. Treffers: ""Deze lustrumbijeenkomst van de NVORWO is onderdeel van een jaarlijks congres bedoeld voor opleiders, begeleiders, leerplanontwikkelaars, schoolboekauteurs, enzovoorts, kortom de docenten van de docenten van de docenten. Deze congressen maken het mogelijk om de ontwikkelingen landelijk te sturen. Helaas moet dit projekt, dat per jaar maar ongeveer een ton kost, met ingang van 1995 verdwijnen.

""Op de basisscholen in Nederland hebben we op dit moment overwegend prima onderwijs en uitstekende leermiddelen, maar nascholing en begeleiding? Ho maar. De tendens vanuit het ministerie is: regionalisering, meer autonomie op de scholen. Die moeten dan zelf gaan betalen voor cursussen. Dat werkt concurrentie in de hand en dus beunhazerij. Zo krijg je een versplintering van leermethoden, waarbij de bestaande deskundigheid niet optimaal wordt benut.

""Voor de basisschool hadden we het plan om op elke school centraal een zogenaamde rekenspecialist op te leiden. Dat dreigt nu ook niet door te gaan, niet omdat het te duur is maar omdat het niet past in het beleid van regionalisering. Ik vind dat ontzettend jammer. Als er geen enkel centraal punt meer is van waaruit innovatie wordt geïnitieerd, krijg je onherroepelijk kwaliteitsverlies. Er dreigt een scheefgroei te ontstaan ten opzichte van het onderwijs voor 12- tot 16-jarigen.

""Ons land telt 80.000 onderwijsgevenden, maar op de televisie gebeurt er niets aan nascholing. Nederland scoort in de wereld hoog met zijn realistische wiskunde-onderwijs, maar het kan nog een stuk beter. Dat lukt alleen als we de docenten kunnen blijven bereiken.''