Voor gewone wereldburgers is 1992 het ...

Voor gewone wereldburgers is 1992 het Internationale Ruimte Jaar en wordt 1993 het Jaar van de Inheemse Volkeren. Maar voor Nederlandse mathematisch-logici zal academisch 1992/93 de geschiedenis ingaan als het Logisch Jaar.

Het Logisch Jaar is ingesteld door de Stichting Wiskunde van de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO). Het gaat om een reeks seminars en een afsluitend congres, waar een keur van buitenlandse coryfeeën uit het vakgebied van de wiskundige logica zal optreden. De subsidie zal de ton niet overstijgen en dan ook geheel opgaan aan de bestrijding van reis-, verblijfs- en organisatiekosten. In navolgende jaren zullen weer andere deelgebieden op soortgelijke wijze in de schijnwerpers worden gezet.

Een van de organisatoren is de 34-jarige Ieke Moerdijk, als universitair hoofddocent verbonden aan de vakgroep Wiskunde van de Universiteit Utrecht. Volgens Moerdijk zijn de wekelijkse seminars bestemd voor het kleine universitaire wereldje van de mathematisch-logici, dat voornamelijk geconcentreerd is langs de universitaire as Amsterdam-Utrecht-Nijmegen. De andere logici in den lande, die uit de vakgroepen filosofie en taalkunde, behoren niet direct tot de doelgroep. Omdat het niveau voor AIO's is of hoger, betekent dit een gehoor van niet meer dan vijftig mensen.

De reden om voor een zo klein publiek een zo lange stoet kopstukken naar Nederland te halen is tweeledig. Ten eerste bevindt, aldus Moerdijk, de wiskundige logica zich op het moment in een "zeer turbulente periode'. Ten tweede spitst het Logisch Jaar zich toe op een van origine typisch Nederlands deelgebied: dat van de constructieve logica.

L.E.J. Brouwer

De constructieve logica spruit direct voort uit het intuïtionisme, een stroming in de filosofie van de wiskunde waarvoor de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer (1881-1966) de basis heeft gelegd. Brouwers werk vormde een directe reactie op de zogeheten grondslagencrisis van de wiskunde, een crisis aan het begin van de eeuw die de logici voor onoplosbare problemen stelde. Nadat logici vele jaren lang bezig waren geweest om de hele wiskunde van een zuiver logische fundering te voorzien, doken er ineens hardnekkige paradoxen op die roet in het eten strooiden. Het intuïtionisme van Brouwer vormde, naast de rivaliserende stromingen van het logicisme en het formalisme, een poging om de grondslagencrisis te omzeilen.

Brouwer, een topoloog van origine, bepleitte een vorm van wiskunde waarin het alleen maar is toegestaan om zaken "constructief' te bewijzen. Bewijzen uit het ongerijmde (waarbij men aantoont dat het tegendeel van de te bewijzen stelling tot een tegenspraak leidt) zijn in de intuïtionistische benadering verboden.

Moerdijk: ""Brouwer probeerde met zijn constructieve aanpak de hele wiskunde opnieuw op te bouwen. Maar hij maakte daarmee nooit erg veel school. De intuïtionistische logica daarentegen is na zijn dood wel verder ontwikkeld, in het bijzonder in Nederland. De fakkel werd overgenomen door Brouwers opvolger Heyting en daarna door diens leerlingen Van Dalen in Utrecht en Troelstra in Amsterdam. ""Dat neemt niet weg dat de intuïtionistische logica binnen de wiskundige logica als geheel lange tijd een nogal marginale plaats innam. Het werd beschouwd als een nogal esoteer gebiedje. Maar de laatste jaren is daar ineens volkomen verandering in gekomen. De intuïti onistische logica is weer helemaal opgebloeid en staat ook internationaal de laatste tijd in het middelpunt van de belangstelling.''

Nu was de intuïtionistische logica altijd al op zichzelf gezien wiskundig bijzonder interessant geweest, dus nog afgezien van het filosofische verband met de grondslagencrisis. Maar voor de plotselinge heropleving was meer nodig. Eerst traden belangrijke verbanden aan het licht met bepaalde delen van de meetkunde. Daarna begon er ook een krachtige kruisbestuiving met het opkomende vakgebied van de informatica. Voor toepassingen in dit vakgebied blijkt juist een constructief-logische, intuïtionistische aanpak vaak relevant te zijn.

Lineaire logica's

Een voorbeeld van zo'n aanpak vormen de zogeheten lineaire logica's, uitgevonden door de Fransman Jean-Yves Girard, een van de gastsprekers in de seminarserie. Moerdijk: ""In de lineaire logica's maakt het uit hoe vaak je premissen of andere gegevens in je bewijsvoering gebruikt. Dat is natuurlijk iets heel raars. Zo kun je een lineaire logica bedenken waarin je elk gegeven maar één of twee keer mag toepassen - daarna is het "vakje' waarin dat gegeven zat als het ware leeg. Voor het beschrijven van wiskundige redeneringen zijn zulk soort bizarre logica's uiteraard ten enen male ongeschikt. Maar ze zijn mogelijk wel heel goed bruikbaar om logische processen te beschrijven in rekenapparaten en computers, vooral als het gaat om parallelle systemen.''

Lineaire logica is slechts een van de vele bizarre (en zeer technische) onderwerpen die in het Logisch Jaar aan de orde zullen komen. Andere publiekstrekkers zullen onder meer zijn de constructivistische analyse van polynomiaal rekenen en de semantiek van polymorfe lambda-calculi. De intuïtionistische logica is daarmee, aldus Moerdijk, niet alleen weer nadrukkelijk aanwezig op de plek waar ze begin deze eeuw ontstond, maar bevestigt ook de prominente plaats in de wiskundige logica waar ze recht op heeft. Moerdijk: ""Intuïtionistische logica gold lange tijd als een obscuur gebied naast de klassieke logica. Nu is de zaak eerder omgekeerd. Intuïtionistische logica is een centrale discipline waarvan de klassieke logica kan worden beschouwd als een limietgeval. Brouwer is uit zijn graf opgestaan.''