Buckyball of Archiball? Een snufje Polyedrologie

Een paar jaar geleden zijn er koolstofmoleculen ontdekt die de vorm hebben van een soort voetbal. Ze worden "Fullerenen' genoemd of "Buckyballs'. Deze moleculen bezitten de structuur van een veelvlak dat al door Archimedes is beschreven.

A.K. van der Vegt, Regelmaat in de ruimte, Delftse Uitgevers Maatschappij, 1991, 94 blz., ISBN 90-6562-141-5, prijs: ƒ 22,50.

Koji Miyazaki, An adventure in multidimensional space: the art and geometry of polygons, polyhedra and polytopes, J. Wiley & Sons, New York, etc. 1986, 120 blz., ISBN 0-471-81648-5, prijs ¢8 48,00.

"Het model zag er zo veelbelovend uit, dat we een collega van de wiskundefaculteit belden om te vragen of het om een bekende structuur ging. Hij belde even later terug met de bevestiging. ""Ik kan het je op verschillende manieren uitleggen', zei hij, ""maar wat jullie daar hebben is gewoon een voetbal'.'

In die woorden beschreef de Amerikaanse chemicus Richard E. Smalley een van de gebeurtenissen uit 1985 die zouden leiden tot de geboorte van een nieuwe, veelbelovende tak van de scheikunde: de studie van de Fullerenen. Samen met zijn medeonderzoekers Bob Curl en Harry Kroto was Smalley op het spoor gekomen van moleculen die uit niet minder dan zestig koolstofatomen bestonden. Ze probeerden er een ruimtelijk model voor te bedenken: Smalley had met papier en plakband iets met vijfhoeken en zeshoeken gefabriceerd dat leek te kloppen, en dat model had hij door de telefoon aan zijn wiskundecollega uitgelegd. Wat hij niet wist, was dat zijn model al meer dan tweeduizend jaar geleden door Archimedes was beschreven: het is de afgeknotte icosaeder, een veelvlak dat opgebouwd is uit twaalf regelmatige vijfhoeken en twintig regelmatige zeshoeken.

Het maakt deel uit van een hele serie: de Archimedische halfregelmatig veelvlakken. In totaal zijn het er dertien, plus nog twee oneindige reeksen (de regelmatige prisma's en de regelmatige antiprisma's). Ze zijn ietsje minder regelmatig dan de vijf regelmatige veelvlakken die Plato al kende: het regelmatige viervlak (tetraeder), het zesvlak (de bekende kubus), het achtvlak (octaeder), het twaalfvlak (dodecaeder) en het twintigvlak (icosaeder).

Bij de Archimedische veelvlakken zijn de zijvlakken nog wel regelmatige veelhoeken, maar ze zijn niet meer allemaal hetzelfde. Zo komen er bij de afgeknotte icosaeder (het veelvlak dat Smalley herontdekt had) in elk hoekpunt steeds twee zeshoeken en één vijfhoek bij elkaar. Die hoekpunten, zestig in getal, zijn juist de plaatsen waar de koolstofatomen zitten in het C60-molecuul. Maar ondanks het feit dat niet alle zijvlakken gelijk zijn, zitten alle atomen toch op onderling gelijkwaardige plaatsen; het gehele molecuul bezit een perfecte symmetrie.

Als ruimtelijke vorm is het C60-molecuul dus helemaal niet nieuw, en onbekend is die structuut evenmin want - en daar doelde Smalley's wiskundecollega op - haast elke voetbal ziet er zo uit: twaalf zwarte vijfhoeken omgeven door in totaal twintig witte zeshoeken. Geen mens zal overigens ooit aan Archimedes denken als hij een balletje trapt. Maar het is wel vreemd dat het nieuwe koolstofmolecuul niet vernoemd werd naar Archimedes, of desnoods naar de Brit David E.H. Jones, die al in 1966 in zijn "Daedalus'-column in de New Scientist over het bestaan van zulke C60-koolstofmoleculen speculeerde, maar naar de geniale en enigszins excentrieke Amerikaanse architect en ontwerper Richard Buckminster Fuller. Deze werd bekend door de fraaie koepelvormige structuren die hij ontwierp, en hij was het ook die de afgeknotte icosaeder propageerde als een handig benaderingsmodel voor de globe. Dat Fullers naam aan de nieuwe moleculen verbonden werd (men spreekt van fullerenen, en noemt ze ook wel buckyballs), komt eigenlijk alleen maar omdat onderzoeker Harry Kroto voor zijn kinderen vroeger wel eens zo'n Fulleriaans hemelbol-model gebouwd had, en dat hij zich vaag meende te herinneren dat er op de een of andere manier vijfhoeken en zeshoeken in voorkwamen. Zo zette hij Smalley aan het knutselen, met het bovenvermelde telefoontje als resultaat.

Maar het is wel wat veel eer om alleen daarom over fullerenen te spreken; net zoiets als wanneer je de rechthoek naar Mondriaan zou noemen, of de kubus naar Picasso. Erger is het dat Archimedes vrijwel nergens vermeld wordt in de stortvloed van publikaties over de nieuwe koolstofverbinding die de laatste jaren verschenen is. Dat is ongetwijfeld een teken aan de wand: de meetkunde, vroeger de hoeksteen van het wiskundeonderwijs, is gaandeweg steeds meer in de verdrukking gekomen, met als gevolg dat zelfs chemici die zich dagelijks met ruimtelijke structuren bezig houden, hun meetkundige klassieken niet blijken te kennen en niet op dehoogte zijn van de eenvoudigste regelmatige en halfregelmatige ruimtevormen.

Meetkundige problemen

De nieuwe koolstofchemie roept overigens wel allerlei interessante meetkundige problemen op. Naast de voetbal, zoals we hem voorlopig blijven noemen (of zou Archiball een passender term zijn?), die uit zestig koolstofatomen bestaat, zijn er ook andere varianten gevonden die ontstaan doordat er meer of minder zeshoeken in de structuur zitten. Vooral moleculen met 70 koolstofatomen komen vrij frequent voor. Maar het aantal vijfhoeken blijft wel altijd twaalf; dat volgt uit de stelling die Euler al in de achttiende eeuw bewees.

De zeshoeken kunnen bij de C70-moleculen echter niet allemaal meer vlak en regelmatig zijn; sommige zijn een beetje geknikt. Het is overigens ook maar de vraag of ze in de zestig-atomenvariant (de voetbal) wel precies vlak en regelmatig zijn: elk koolstofatoom heeft vier variaties, maar in de voetbal is elk atoom met drie andere verbonden. Sommige bindingen moeten daarom dubbel zijn, net zoals dat bij grafiet het geval is. Onderzoekers beweren dat de zijden van de vijfhoeken allemaal uit enkele bindingen bestaan, maar dat de zeshoeken afwisselend een dubbele en een enkele binding als zijde hebben. Als die verdeling van de enkele en dubbele bindingen over vijf- en zeshoeken al geldt voor het molecuul met zestig atomen, dan kan het voor de variant met zeventig atomen in elk geval niet kloppen, zoals je op meetkundige gronden gemakkelijk kunt nagaan. Maar hoe zit het daar dan precies met de dubbele bindingen?

Kippegaas

Naast de voetbal en zijn varianten is er ook nog de allernieuwste ontdekking op het gebied van de koolstofstructuren: de kippegaasbuisjes van Sumio Iijima. Deze zijn opgebouwd uit een willekeurig aantal zeshoeken die samen een kokertje vormen, een soort buisje van kippegaas. In de tekening die Scientific American ervan plaatste in het decembernummer van vorig jaar, zie je dat zo'n buis ook een tikkeltje scheef is: de zeshoekige mazen van het gaas vormen met elkaar als het ware een ruimtelijke wenteltrap. Misschien is dat ook wel de reden dat de buisjes zo lang kunnen worden: nieuwe atomen hechten zich gemakkelijk aan de uiteinden, en op die manier bouwen ze de wenteltrap verder uit.

Richard Smalley heeft geopperd dat zo'n buisje aan de twee uiteinden afgesloten kan worden met "kapjes' van vijf- en zeshoeken, maar ik betwijfel of dat het geval is: juist de wenteltrapvorm zou de vorming van vijfhoeken wel eens kunnen belemmeren. Veel waarschijnlijker lijkt me dat die structuren, net als grafiet en diamant, gewoon open uiteinden hebben, en dat de losse bindingen op den duur via spontane reacties worden voorzien van waterstofatomen. Ook hier is het overigens weer een interessante vraag waar de dubbele bindingen nu precies zitten.

Het ziet er naar uit dat de nieuwe koolstofchemie niet alleen voor de scheikunde, maar ook voor de meetkunde een terrein is vol uitdagingen en boeiende vraagstukken. En zoals vaker het geval is, blijken er ook hier weer toepassingen te liggen van stukken wiskunde die in een ver verleden ontwikkeld zijn met geen andere reden dan wiskundige nieuwsgierigheid. Euler leidde een formule af over het verband tussen het aantal hoekpunten, ribben en zijvlakken van een veelvlak. Plato en Euclides beschreven de regelmatige veelvlakken, Archimedes de halfregelmatige. Kepler ontdekte twee stervormige regelmatige veelvlakken, Poinsot vond er nog twee andere bij. In de loop der eeuwen zijn er steeds weer onderzoekers geweest die geboeid werden door veelvlakken: ze analyseerden hun structuur, onderzochten hun symmetrieën en bouwden er modellen van. Wiskundigen deden dat, maar ook bijvoorbeeld architecten, ontwerpers en kunstenaars.

M.C. Escher werd zijn gehele leven door regelmatige veelvlakken gefascineerd, Da Vinci maakte er prachtige tekeningen en modellen van, Dürer verwerkte ze in zijn platen, Dali in zijn schilderijen. En ook thans nog worden kunstenaars door ruimtelijke regelmaat geïnspireerd: de Maastrichtse kunstenaar Gerard Caris gebruikt vijfhoeken en dodecaeders in bijna al zijn ontwerpen.

Polyedrologie

Eind vorig jaar werd de omvangrijke literatuur die er al op het gebied van de regelmatige veelvlakken bestaat, uitgebreid met een Nederlands boek: "Regelmaat in de ruimte', geschreven door A.K. van der Vegt. De auteur, emeritus hoogleraar in de Polymeertechnologie aan de TU-Delft, behoort tot de selecte groep van mensen die behept zijn met wat hij zelf noemt polyedromanie, dat wil zeggen de onbedwingbare neiging om veelvlakken (polyeders) te maken, te bestuderen, te analyseren of er gewoon mee te spelen. Hij hoopt met dit boekje zijn "lotgenoten' te stimuleren nog intensiever hun hobby, die je dan polyedrologie zou kunnen noemen, te beoefenen. Het is een helder geschreven rondleiding geworden door polyederland. Allerlei veelvlakken, die allemaal een zekere regelmaat bezitten, worden door Van der Vegt systematisch behandeld en met elkaar in verband gebracht. Die veelvlakken zijn afgebeeld door middel van duidelijke computertekeningen; de verzorging van de tekst en de figuren is eenvoudig maar voorbeeldig afgewerkt en de prijs is verrassend laag. Ik denk dat het boek zeker in een behoefte voorziet; de wiskundige voorkennis die ervoor nodig is, overstijgt de VWO-stof niet. Natuurlijk moet je wel een analytische geest en een goed ruimtelijk voorstellingsvermogen hebben, maar als je daar niet over beschikt, zul je je ook niet voor dit soort zaken interesseren.

Schitterende objecten passeren de revue: regelmatige en halfregelmatige veelvlakken, symmetrische veelvlakken met congruente maar onregelmatige zijvlakken, sterrenveelvlakken, dooreengevlochten en afgeknotte veelvlakken. En op het einde krijgt de lezer ook nog een kijkje in de vierde dimensie, waar regelmatige veelcellen een nog intrigerender onderzoeksveld vormen. In de vorige eeuw heeft Ludwig Schläfli daar pioniersarbeid verricht; in het begin van deze eeuw was onze landgenoot P.H. Schoute een van de autoriteiten, en thans is er nog steeds een groep onderzoekers rond de Canadese meetkundige H.S.M. Coxeter actief op dit terrein. Maar Van der Vegt laat de vierde en hogere dimensies grotendeels onbetreden: hij beperkt zich tot een opsommende beschrijving van de zes vierdimensionale regelmatige veelcellen; een dieper gaande behandeling zou inderdaad ook veel meer wiskundige voorkennis vereisen.

Ruimtegebrek

De onschuldige afwijking die polyedromanie misschien wel is, brengt één groot ongemak met zich mee: ruimtelijke modellen nemen plaats in, en al snel raken kasten, dressoirs, schoorsteenmantels, tafels en hobbyzolders bedolven onder de langzaam verstoffende kartonnen produkten van liefdevolle huisvlijt. Van der Vegt rept niet over ruimtegebrek, maar een probleem is het wel. De Japanse polyedromaan Koji Miyazaki heeft er echter een eenvoudige oplossing voor bedacht: na constructie maakt hij kleurenfoto's van zijn veelvlakken, om ze daarna als bouwplaten weer uit elkaar te halen. In tweedimensionale vorm kan hij ze dan in grote hoeveelheden economisch opslaan en stofvrij bewaren, samen met hun tweedimensionale fotografische afbeeldingen. Een paar jaar geleden heeft Miyazaki, mede op aandringen van bewonderaars van zijn scheppingen, een keuze uit zijn fotocollectie gepubliceerd, voorzien van poëtische toelichtingen. Zo is er een werkelijk schitterend boek ontstaan; Miyazaki's foto's zijn namelijk niet zo maar plaatjes, maar prachtige kleurencomposities, die je op zichzelf al als kunstwerken kunt opvatten. Helaas is de Engelse vertaling nogal prijzig (het Japanse origineel ken ik niet). Ik noem het hier expliciet omdat Van der Vegt er in zijn literatuuropgave geen melding van maakt, terwijl de liefhebber, polyedromaan of niet, er een geweldige bron van inspiratie in zal vinden.

Er is tegenwoordig natuurlijk ook nog een andere methode om het ruimteprobleem te omzeilen: sla alles op in de computer. Je mist dan wel het fysieke contact met je veelvlak, maar als je een driedimensionaal model goed representeert, kun je het op het scherm van alle kanten bekijken. Met simpele BASIC-programma's kom je al een heel eind, maar meer geavanceerde programmatuur geeft nog veel spectaculairdere resultaten: perspectiefbeelden, kleuren, schaduwen, doorsneden, noem maar op. Als je daarmee aan de gang gaat, ontwikkel je al programmerend en experimenterend vanzelf je ruimtelijke voorstellingsvermogen en je structurele inzicht. Je hoeft je zelfs niet tot drie dimensies te beperken: ook vier- en hogerdimensionale modellen kunnen zo onderzocht worden.

Euclides

Is polyedromanie alleen maar iets voor excentrieke hobbysten? In zijn meest extreme vorm natuurlijk wel, maar onderzoek van regelmatige ruimtestructuren heeft toch een veel ruimer belang. De "Elementen' van Euclides, geschreven omstreeks 300 v. Chr., en tot ver in onze eeuw nog gebruikt als hèt standaardleerboek van de wiskunde, eindigen met een volledige beschrijving van de regelmatige veelvlakken. Dat stuk is als het ware het hoogtepunt, de meetkundige kroon op het werk. Ook thans nog heeft die wiskunde, na meer dan tweeduizend jaar, niets verloren van haar schoonheid en aantrekkingskracht. Je kunt dat ervaren als je, in het voetspoor van Plato en Euclides, nagaat dat er inderdaad vijf regelmatige veelvlakken zijn en niet meer, en als je hun meetkundige eigenschappen bestudeert. En wat misschien nog wel belangrijker is: je scherpt daardoor je analytische vermogens, je leert redeneringen op hun geldigheid te toetsen, je leert het onderscheid tussen vermoedens en bewijzen, je ontwikkelt je kritische zin en je ruimtelijke inzicht. Knip twaalf gelijke regelmatige vijfhoeken uit karton en plak ze als een bouwplaat samen tot een regelmatig twaalfvlak (dodecaeder). Alles lijkt precies op elkaar te passen, maar is dat nu echt zo, of zit er speling in?

Hoe weet je zeker dat het passen moet; met andere woorden, hoe weet je zeker dat zo'n dodecaeder ook echt bestaat? En wat zijn de symmetrieën ervan? Er blijken niet minder dan 59 ruimtedraaiingen te zijn die zo'n ding in zichzelf overvoeren. Daarnaast zijn er ook nog allerlei spiegelsymmetrieën. Dat geldt overigens niet alleen voor de dodecaeder, maar ook voor de voetbal, want die heeft dezelfde symmetriestructuur. Als je probeert bij zo'n voetbal al die ruimtedraaiingen en symmetrieën te vinden en te classificeren, leer je jezelf al doende groepentheorie. Er is geen betere manier om te ontdekken wat wiskunde nu eigenlijk is, dan aan de hand van zulk onderzoek.

Wiskunde op school

Helaas tref je in het onderwijs zulk soort onderzoek nog maar zelden aan. Hoe komt dat? Ik heb soms wel eens het gevoel dat het wiskundeonderwijs op school in zekere zin aan z'n eigen succes ten onder dreigt te gaan. De wiskunde vindt zó veel toepassingen in allerlei andere wetenschappen en disciplines, dat het onderwijs tegenwoordig misschien wel teveel gericht is op direct toepasbare technieken en trucs. Wiskunde als gereedschapskist van kunstjes en formules, die gedachteloos en kritiekloos toegepast kunnen worden. Te pas en te onpas, want helaas komt misbruik ook voor. Denk bijvoorbeeld maar aan de statistiek, die niet zelden alleen maar gebruikt wordt om twijfelachtig onderzoek van een geleerd vernisje te voorzien. Zorgwekkend is ook dat de wiskunde op school door de leerlingen niet meer gezien wordt als moeilijk en uitdagend, maar eerder als routineus en vervelend. Wiskundeonderwijs dat de analytische en kritische zin van de leerling aanspreekt en uitdaagt, is dat er nog wel? Misschien zou een snufje polyedrologie in het onderwijs wel wonderen kunnen doen!

Tekening: Patentaanvraag van Richard Buckminster Fuller, de Amerikaanse architect die gebouwen als halve bollen bouwde. De voetbalverbinding C60 is naar hem genoemd, zowel als Buckyball als Fullereen.

Foto's: Buisje van kippegaas. Er worden nu ook moleculen volgens dit stramien gesynthetiseerd. Zo mooi geheel als een Buckyball worden deze verbindingen niet - er is altijd een rafelig einde en begin.

De Amerikaanse chemicus Richard E. Smalley, die samen met zijn medeonderzoekers Bob Curl en Harry Kroto de eerste C60-moleculen beschreef.

M.C. Escher (1957). Houtsnede opgebouwd uit vlakverdeling met twee ongelijkvormige motieven. Escher ging bij zijn composities vaak uit van regelmatige veelvlakken.