SPREKEN, ZIEN & ZWIJGEN

The Infinite door A.W. Moore 284 blz., Routledge 1991, f 110,- ISBN 0 415 03307 1

De slotzin van Wittgenstein's Tractatus was bedoeld als grafschrift voor de filosofie. Het graf dat hij achterliet was, op een ladder met zeven sporten na, diep en leeg.

Sinds de wereld van het genie ophield te bestaan, is het kerkhof overbevolkt geraakt. Het leven gaat immers verder. De exegese bloeit, het commentaar groeit en de kritiek snoeit, onder een donker wolkendek van ernst. En alle 83.712 intimi van Wittgenstein (tussenstand anno 1992) hebben inmiddels hun draad toegevoegd aan het ingewikkelde weefsel van zijn karakter - en blijken plotseling allemaal oude schriften te ontdekken waarin hun conversaties met het genie woordelijk staan opgetekend.

De kenners schrijven geleerde boeken vol, kraken de ene voetnoot na de andere, en voegen er de zoveelste anekdote aan toe. Het interessantste werk komt echter van hen die het kerkhof bezoeken maar er niet tot hun dood blijven rondhangen en terugkeren naar de wereld van de levende ideeën. De Engelse filosoof A. W. Moore (familie van Wittgensteins afgod G. E. Moore?) behoort tot de laatste categorie, getuige zijn boek The Infinite, een groots wijsgerig vertoog over het idee van het oneindige.

The Infinite bestaat uit twee delen. In het eerste deel geeft Moore een overzicht van de geschiedenis van het idee van het oneindige, in het tweede deel ontvouwt hij zijn eigen visie op dit idee. Deze geschiedenis is gelukkig een rationele reconstructie, die het beeld schept van een continue ontwikkeling van filosofisch denkwerk, beginnend bij Anaximander, Zeno en Archytus, via Kant, Cantor en Russell doorlopend tot Wittgenstein en Dummet. Vele van de paradoxen van het oneindige komen hierin aan bod. Reeds in de inleiding onderscheidt Moore twee soorten ideeën van het oneindige (waar andere begrippen omheen bewegen): het mathematisch oneindige (grenzeloosheid, onmetelijkheid, onophoudelijkheid, eeuwigheid) en het metafysisch oneindige (volledigheid, totaliteit, eenheid, universaliteit). Hiermee is onmiddellijk al enige orde in de chaos aangebracht.

AXIOMA'S

Het tweede deel is prachtig. Via het grondslagenonderzoek van de wiskunde, met name de stellingen van Löwenheim-Skolem en Gödel, komt Moore terecht bij het onderscheid tussen ”sagen' (”saying') en ”zeichen' (”showing') uit Wittgenstein's Tractatus. De stelling van Gödel zegt dat er bij ieder deductief systeem (axioma's plus afleidbare stellingen) een ware bewering te construeren valt, de zogenaamde Gödel-zin, waarvan bewezen kan worden dat hij niet af te leiden is uit de axioma's ervan; de Gödel-zin is een ware doch onbewijsbare bewering. Moore drukt het zo uit: de oneindig rijke wiskundige waarheid kan niet gevangen worden in een eindig axioma-stelsel en ligt kennelijk voorbij het mathematisch articuleerbare.

Volgens mij is dit niet geheel juist. De wiskundige waarheden zijn wel degelijk consistent te articuleren, alleen liggen sommige waarheden voorbij het axiomatiseerbare.

Een model van een deductief systeem is een verzameling beweringen waarin voorkomende stellingen uit het deductief systeem altijd waar zijn. Een aftelbaar oneindige verzameling bevat oneindig veel elementen die te nummeren zijn (de natuurlijke getallen, de zandkorrels op aarde, et cetera); een overaftelbare verzameling bevat oneindig veel elementen die niet meer te nummeren zijn (het aantal punten op een lijnstuk, de reële getallen, et cetera).

De Stelling van Löwenheim-Skolem zegt dat er voor iedere verzameling beweringen, dus ook voor ieder deductief systeem, een model bestaat dat hoogstens aftelbaar oneindig is. Aangezien de verzamelingenleer, die ook een deductief systeem is, de stelling bevat die zegt dat er overaftelbare verzamelingen bestaan, ontstaat er een paradox wanneer men de Stelling van Löwenheim-Skolem toepast: de verzamelingenleer heeft een aftelbaar model!

Uit de stelling van Löwenheim-Skolem volgt ook dat hoeveel ware zinnen uit de standaard verzamelingenleer iemand, die de betekenis van de begrippen ”verzameling' en ”element' niet kent, ook onder ogen krijgt (desnoods allemaal), het onmogelijk is de hypothese uit te sluiten die zegt dat de betreffende leer niet over verzamelingen, maar eigenlijk over de natuurlijke getallen gaat. Moore argumenteert van hieruit dat de wiskundige betekenis van het begrip ”verzameling' ook aan gene zijde ligt van het mathematisch articuleerbare. In het bijzonder geldt dit voor het idee van de verzameling van alle verzamelingen; dat idee wijst in de richting van het even wiskundig niet uit te drukken idee van het mathematisch oneindige.

Volgens Moore zijn de talloze oneindige getallen uit Cantor's transfiniete (”door het eindige heen') wiskunde niet de uitdrukkingen van het idee van het mathematisch oneindige, omdat er bij ieder transfiniet getal een ander transfiniet getal te bedenken valt dat groter is, hetgeen in strijd is met de intuïtie dat het mathematische oneindige zelf de overtreffende trap behoort te zijn. Het oneindige duldt niets boven zich.

ANGSTHAAS

Dit is de voorbeeldige houding die een wijsgeer behoort aan te nemen ten opzichte van de wiskunde (en de natuurwetenschap). Moore gaat noch verkrampt ten onder in de Formule Zee van de wiskunde, noch blijft hij als een angsthaas op het strand, maar hij snorkelt wat rond in de golven, neemt een duik in de diepte, en trekt herboren landinwaarts. Veel wiskundig formalisme zal men in The Infinite niet aantreffen, wel wiskundige inzichten - zowaar een paradox.

Ook formuleringen van het metafysisch oneindige, zoals het idee van een oneindig geheel en de menselijke eindigheid, benadert Moore gewapend met wiskundige inzichten en Wittgensteins onderscheid tussen zeggen en tonen. Behoedzaam argumenteert Moore voor de these dat het metafysisch en mathematisch oneindige uiteindelijk versmelten aan gene zijde van de taal. Wij kunnen daar niet over spreken, maar wij kunnen wel spreken over wat het betekent dat het idee van het oneindige zich toont in de taal. Pas daarna is men gedwongen op te houden met spreken.

Dit is precies de volgorde van de filosofische activiteit in de Tractatus: spreken, zien, en zwijgen. (Het probleem van wat te doen wanneer mensen van mening verschillen over wat zich toont, laat Moore buiten beschouwing - ook in navolging van de Tractatus.)

Leidraad in alle betogen is Moore's eigen intuïtie over het oneindige, waaraan hij zelden tornt. Wie andere intuïties over het oneindige bezit, zal daardoor Moores redeneringen niet altijd instemmend kunnen volgen. Dat is echter een levioris notae macula, een smet van geringe betekenis, want iedere inspanning van de lezer zal op zijn minst beloond worden met een inzicht. En de waarde van een inzicht is nog immer oneindig.