Wiskundige Logica; Bouwwerk zonder funderingen

JOHAN VAN BENTHEM (1949) is hoogleraar wiskundige logica en haar toepassingen aan de Universiteit van Amsterdam.

Hij is directeur van het Institute for Logic, Language and Computation.

"De logica is de exacte, wiskundige bestudering van redeneren, tegenwoordig opgevat in een ruime zin, dus redeneren door zowel mensen als mechanische systemen. In de logica is het begrip "vraag', laat staan "onbeantwoorde vraag', problematischer dan in de natuurwetenschappen. Want op welke werkelijkheid heeft de vraag betrekking? We hebben niet te maken met objectieve vragen als: is er leven op Mars? In de logica is er sprake van een werkelijkheid die je zelf construeert.

"Een vraag behoeft ook niet altijd een antwoord te hebben om toch belangrijk te zijn. Er zijn wiskundige vragen waarvan bewijsbaar is dat ze onoplosbaar zijn. Dus niet alleen praktisch onoplosbaar, maar ook om theoretische redenen. Niettemin zijn deze vragen vaak juist heel belangrijk geweest. Een mooi voorbeeld is het kwadrateren van de cirkel. In de Oudheid had men het vermoeden dat alle meetkundige grootheden beschreven konden worden met eenvoudige hulpmiddelen. Dat bleek uiteindelijk niet uit te komen voor de beschrijving van de cirkeloppervlakte. Maar dat bleek pas bij Gauss. Die onmogelijkheid is van grote invloed geweest op de meetkunde.

"Een ander voorbeeld van een belangrijke vraag van dit soort is het halting-probleem bij rekenmachines. Iedereen kent uit de praktijk wel het probleem van een computer die almaar doorgaat, hij houdt maar niet op, hij is in een lus geraakt. Een voor de hand liggende vraag is nu: bestaat er een methode om te bepalen of de programmatuur van de machine in een lus zal raken of niet? Het antwoord op die vraag is: neen, zo'n methode bestaat niet. Voor softwarebedrijven is dat een tegenvaller, maar het is niet anders. Het halting-probleem is onoplosbaar.

"In de logica zijn vragen ook moeilijk los te denken van het antwoord. Je moet je afvragen: wat is eigenlijk een afdoend antwoord op een vraag? Bijvoorbeeld Turing's bewijs dat het halting-probleem onoplosbaar is, lost dit probleem wel op, in een of andere hogere zin. Vaak zijn de bewijsmethoden voor dit soort negatieve antwoorden veel vernuftiger dan voor positieve antwoorden, zodat er een grote technische spin-off ontstaat die weer voor vele andere doeleinden bruikbaar is.

"Er zijn in de logica, net als in andere wetenschapsgebieden, allerlei genres van vragen. Er zijn vragen met een grote V, die een heel onderzoeksprogramma doen ontstaan. Daarbinnen bevinden zich de vragen met een kleine v die gegeven de vooronderstellingen en doelen van dat programma, het onderzoek op gang houden. Die spelen zich meestal af binnen een beperkter vakgebied en vormen om zo te zeggen ons dagelijks brood.

"Een vraag met een grote V was de onderneming van het mathematiseren van de waarschijnlijkheid. Toen die onderneming een paar eeuwen geleden begon, had men nog geen flauw idee waar men zou uitkomen. Er is nog steeds een grondslagenvraag hoe je het begrip kans moet definiëren en wat het beste wiskundige model ervoor is. Er is wel een overheersende manier om het te doen, die van Kolmogorov, maar deze is niet in alle opzichten bevredigend, zelfs niet voor zijn eigen ontdekker.

"In de vorige eeuw werd de logica, door mensen als Frege, Russell en Hilbert, ontwikkeld vanuit de wiskunde. Belangrijke vraag hierachter was of de verschillende wiskundige theorieën exact geformuleerd en met elkaar in verband gebracht konden worden, en of deze constructie zou leiden tot tegenspraak. Dat heeft erin geresulteerd dat wiskundige theorieën zelf onderwerp van studie werden. Daarmee kregen stellingen of bewijzen dezelfde exacte status als getallen.

"De oogst kwam in de jaren dertig waarin vele dingen werden ontdekt. Belangrijk waren de stellingen van Gödel waarin onder meer naar voren kwam dat grote delen van de wiskunde niet volledig geaxiomatiseerd konden worden. En voorts dat er geen enkele methode bestaat waarmee van wiskundige beweringen bepaald kan worden of ze consistent zijn.

"Gödels bevindingen - die dus het bouwwerk van Russell en Hilbert ondermijnden - werden verrassend genoeg zeer snel door vakgenoten geaccepteerd. Er bestaat inmiddels wel een traditie van cranks, gedreven liefhebbers van buiten het vakgebied, die Gödel willen weerleggen. Iedere hoogleraar logica ontvangt met een zekere regelmaat manuscripten waarin dit wordt geprobeerd. Maar het is zoiets als mensen die nog steeds proberen om de cirkel te kwadrateren. Of, in de natuurkunde, de speciale relativiteitstheorie proberen te weerleggen. De tegenwerpingen van zulke cranks zijn vaak niet onintelligent, maar ze zijn niet steekhoudend.

"Waarom werd Gödel in vakkringen zo snel geaccepteerd? Ik denk om verschillende redenen. In de eerste plaats kwamen de bevindingen van Gödel sommige wiskundigen goed uit. Hun theorieën waren in strijd met het programma van Russell en Hilbert. Ik denk aan de Amsterdamse intuïtionist Brouwer, die sowieso al een sterk tegenstander was van de gedachte dat de wiskunde zich geheel zou laten vangen in een aantal exacte formalismen.

"Ten tweede werkte Gödel voor vele logici als een bevrijding. Naarmate het bouwwerk van Hilbert zijn voltooiing begon te naderen, werkte het een beetje benauwend. Hilbert zelf dacht dat de voltooiing van het logische grondslagenonderzoek een kwestie van afzienbare tijd was. Het kwam velen dus wel goed uit.

"Je moet beseffen dat het negatieve antwoord van Gödel toch als revolutionaire vooruitgang moet worden beschouwd. Zijn bewijsmethode leidde tot vele nieuwe vragen en nieuw onderzoek. Het grondslagenonderzoek van de wiskunde, dat gericht was op een eenvoudige bouwkundige metafoor - wat zijn de funderingen van de wiskunde? - bleek heel anders uit te vallen dan men had verwacht. De uitkomst is: er zijn geen funderingen, geen grondslagen. En dat is eigenlijk helemaal niet zo erg! Het blijkt dat de problemen in de wiskunde en in de logica veel subtieler zijn dan zich aanvankelijk liet vermoeden.'

"Na Gödel zijn diverse deelgebieden van de logica hun eigen weg gegaan en hebben zich verder verdiept. Ik noem de bewijstheorie, de modeltheorie, de recursietheorie, allemaal specialismen die een eigen wiskundige structuur bezitten. Sommige zijn toepasbaar gebleken ver buiten de oorspronkelijke voorziene wiskundige toepassing: in de wijsbegeerte, in de informatica en in de taalkunde.

"De huidige fase van het vak kun je zien als het inzetten van al die ontwikkelde apparatuur voor meer ambitieuze cognitieve doelstellingen, de analyse van redeneren en rekenen in de ruimste zin. De descriptieve kant hiervan heeft overigens wel wortels in het grondslagenonderzoek zelf, te weten in het "vaderlandse' intuïtionisme van Brouwer cum suis, dat de construerende en bewijzende activiteit van de wiskundige centraal stelde. Dit tegenover denkbeeldige Platoonse ontdekkingstochten door een of andere absolute wiskundige wereld buiten ons.

"Je kunt je natuurlijk afvragen wat dit te maken heeft met universele waarheden. Als wezens van buiten de aarde een geheel andere logica blijken te bezitten, dan blijkt achteraf dat wij hier op aarde dus voornamelijk onszelf hebben onderzocht, iets toevalligs, de hersencapaciteiten van een diersoort genaamd mens. Maar tegenover dit défaitisme kun je toch wel iets opbeurends stellen. In de eerste plaats zijn logische systemen in de tijd en over de aarde toch tamelijk stabiel. Er zijn wel wat discussies over de Indiase logica, maar grosso modo moet je toch zeggen dat het eerder opvallend is hoe transcultureel logische principes zijn.

"Daarnaast valt iets anders op bij de logica van de diersoort mens. Als je fijner gaat kijken dan valt op dat deze reeds intern zeer divers van aard is. Laat ik dat toelichten. Als je de mens beschouwt als een dier dat intelligent vaardigheden vertoont, dan is het eerste wat je ziet dat dat gedrag niet alleen uit wiskundig gedrag bestaat. Het redeneervermogen van de mens heeft een veel breder spectrum. Je kunt denken aan de verwerking van grafische informatie, of de manier waarop men natuurlijke taal hanteert. De oude logische vragen worden daarmee sterk opgerekt tot een gebied dat niet alleen de wiskunde omvat, maar ook de taalkunde en de informatica.

"Er vallen nu verschillende redeneerstijlen te onderscheiden: deductieve stijlen, heuristische stijlen... Misschien zag men dat vroeger ook wel in, maar de beoefenaren van de klassieke logica vonden die andere stijlen intellectueel minder respectabel, de echte logica kon maar op één manier beschreven worden. Tegenwoordig weten wij dat er wel degelijk veel logische elementen zitten in die versmade redeneerstijlen. Afwijkingen van de klassiek-logische "denkwetten' zijn eerder regel dan uitzondering. Deze uitzonderingen blijken niet op vergissingen of slordigheid te berusten, maar kennen hun eigen systematiek. Wanneer je die beter gaat onderzoeken, blijken juist heel verrassende dingen. Bijvoorbeeld de niet-monotonie in redeneren. In de klassieke logica zou het toevoegen van meer elementen in een rij van gegevens nooit leiden tot het wijzigen van de conclusie. Maar in een heuristische stijl is dat wel mogelijk. Een bepaalde "voorkeursconclusie' zou door een belangrijke nieuw gegeven alsnog gewijzigd kunnen worden.

"Een mens kan in verschillende situaties geheel verschillend redeneren, de stijl is afhankelijk van het onderwerpsgebied. Het is maar net waar je logica passend is. In ieder gebied leg je de strengste normen aan die je redelijkerwijs in dat gebied kunt hanteren. Dat leidt tot een grote diversiteit aan redeneerstijlen. Een eerste centrale vraag in de huidige logica is nu: kunnen we de bestaande logica zo pluraliseren dat we dit verschijnsel van cognitieve diversiteit kunnen verantwoorden?

"De menselijke rationaliteit schuilt overigens niet alleen in ons kennisbestand zelf, maar juist ook in de manier, de procedure, het spel waarmee we die kennis in bepaalde situaties inzetten - om een debat te winnen heb je niet alleen genoeg aan de juiste argumenten, maar moet je ze ook in de juiste volgorde zetten. Anders verlies je. Iedereen kent die ervaring. De timing en organisatie van een redenering, kortom de cognitieve dynamiek, is een onderwerp dat pas sinds kort onderwerp van logisch onderzoek is. Gelijk krijgen in een debat vereist een speciale dynamische techniek. Maar ook het oplossen van een probleem of het gebruiken van taal. Een groot deel van onze intelligentie besteden wij om de spelregels van dit soort bezigheden onder de knie te krijgen.

"We zijn gaan inzien dat deze procesmatige aspecten van het redeneren heel belangrijk zijn. Een tweede centrale onderzoeksvraag is op dit moment: wat is de beste wiskundige manier om deze dynamiek van het redeneren te beschrijven? Er wordt hier veel gewerkt met ideeën uit de informatica. Er bestaan veelbelovende modellen van "dynamische logica' en "logische speltheorie', maar de ontwikkeling is nog aan het begin.

"De klassieke logische theorieën maakten alleen gebruik van symbolen. Maar het blijkt dat mensen bij het redeneren ook gebruik maken van andere middelen, bijvoorbeeld grafische informatie zoals landkaarten. Als we iets aan een ander duidelijk willen maken zijn we al gauw geneigd een plaatje te tekenen: een routebeschrijving, een bouwtekening, noem maar op. Traditioneel zagen de logici die plaatjes als een soort didactisch hulpmiddel dat je niet al te serieus moet nemen. Maar ik ben geneigd te zeggen - en ik ben beslist de enige niet - dat die plaatjes voor ons denken wel degelijk belangrijk zijn. Ze zouden anders ook niet zo hardnekkig opduiken. Kennelijk heeft de mens meer mogelijkheden om te redeneren en om informatie op te nemen dan alleen via symbolen en begrippen. Dat ligt ook wel een beetje voor de hand. We hebben nu eenmaal ons oog als biologische sterkte. En natuurlijk exploiteren we dat, ook in ons redeneren. En daarmee hebben we een derde belangrijke vraag.'

"De logische uitdaging van heterogene logische systemen is om tegelijkertijd met meer soorten informatie te werken, waaronder plaatjes en symbolen. Je kunt ze voeren met beweringen en grafische input. Ze moeten in staat zijn om grafisch te redereren en ook klassiek logisch. Net zoiets als mensen doen als ze een landkaart hanteren samen met registers.

"Op al deze terreinen verwacht ik dat we de komende jaren - laten we zeggen voor mijn overlijden - belangrijke vooruitgang zullen boeken. Ga je nu iets verder door dan kun je je afvragen wat je met deze logische theorieën zou kunnen doen. Als ik de lijn van heterogene logica doortrek voor de wiskunde, dan kun je je afvragen of er een integrerende theorie mogelijk is voor continue en discrete wiskunde. Dat is een wiskundig ideaal vergelijkbaar met een computer die zowel analoog als digitaal is, iets wat wij mensen waarschijnlijk ook zijn.

"Op het gebied van taal hoop ik dat er theorieën zullen verschijnen met verklarende kracht over natuurlijk taalgebruik. Het klinkt erg ambitieus, want natuurlijke taal is zeer complex. Tot dusverre is de taalkunde tamelijk beschrijvend. Maar als we meer inzicht hebben in de werking van onze logische vermogens, dan zouden we misschien kunnen verklaren waarom talen in elkaar zitten zoals ze in elkaar zitten. Bijvoorbeeld omdat ze op de een of andere manier iets optimaliseren ten behoeve van ons redeneren.

"In de informatica hoop ik dat er programmeersystemen ontwikkeld kunnen worden die correctheid van programma's kunnen garanderen. We zouden de logische theorie zo goed in onze greep moeten krijgen, dat we begrijpelijke en betrouwbare software kunnen garanderen.

"Tenslotte: zouden we een logisch systeem kunnen bouwen dat even intelligent is als de mens. Een systeem dat zelf kan leren, dat vooruit kan denken en plannen. Dit zijn allemaal vragen met een grote V, waarvan ik niet verwacht de oplossing te beleven.

"Het is natuurlijk heel goed mogelijk dat we, al vragen stellend, weer spectaculaire negatieve antwoorden krijgen. Ik kan me heel goed voorstellen dat er een nieuwe Gödel opstaat die bewijst dat er geen correctheidsgaranties voor programmatuur mogelijk zijn. Een diep negatief resultaat dat ons toch verder helpt.

"Dat kan ook gelden voor lerende biologische systemen - dat een andere nieuwe Gödel ons bewijst dat deze aan principiële beperkingen onderhevig zijn. Dat is heel goed denkbaar.

"In zekere zin is zo'n diep negatief antwoord misschien wel het aardigste perspectief. Want het omgekeerde, dat we deze problemen echt zullen oplossen, dat werkt toch een beetje benauwend: als we inderdaad in staat zouden zijn de menselijke taal volledig te begrijpen, als we lerende systemen zouden bezitten die even intelligent zijn als wijzelf - of zelfs intelligenter. In die zin spijt het me ook niet dat deze wetenschappelijke horizon voorbij mijn persoonlijke ligt...

"Of het definitieve begrijpen van menselijke taal of het bouwen van een lerende computer mogelijk of juist onmogelijk is, dat weten we momenteel niet. Aan de ene kant moet het mogelijk zijn, denk je in een eerste opwelling. De menselijke hersenen zijn beperkt in omvang, ze bestaan uit een eindig aantal moleculen, uit een eindig aantal hersencellen - de mens heeft geen oneindige hulpmiddelen tot zijn beschikking. Ook ons eigen denken moet dus geheel te begrijpen zijn.

"Maar het zou ook kunnen zijn dat ons cognitieve succes bestaat uit twee factoren. Dat we enerzijds inderdaad over logische systemen beschikken, maar anderzijds dat de menselijke geest ook essentieel "onlogisch' werkt, geholpen door een flinke portie "geluk' in de vorm van een fysisch "regelmatige omgeving'. Hoe dan ook, de logica kan nog wel even voort.'