"Pieter werkt de helft van 5/6 jaar in Wageningen. Weet je hoeveel maanden dat is?'

Iedere onderwijzer weet het uit eigen ervaring en onderzoek heeft het uitgewezen: breuken zijn de moeilijkste sommen van de basisschool. Vooral voor zwakke rekenaars zijn breukensommen van een ontmoedigende complexiteit. Want, zo vragen deze kinderen zich telkens opnieuw af, wat heeft het getal boven de streep nou te maken met het cijfer onder de streep?

"De breukentaal is een groot probleem', zegt Anita Lek van montessorischool de Eekmolen in Wageningen, "kinderen kunnen zich er gewoon niets bij voorstellen.' In haar klas staat een houten doosje met tachtig breukenkaarten, allemaal kale sommen, maar deze keurig geplastificeerde kaartjes worden nog maar zelden gebruikt. Sinds september doet Antia Lek met de twaalf kinderen uit haar klas die in de zesde groep zitten (de overige achttien leerlingen werken rustig door) een experiment met de "dubbele getallenlijn'.

Het is een totaal andere manier om breuken te begrijpen. Boven de lijn staan de abstracte breuken, maar deze worden voortdurend gerelateerd aan reële, herkenbare maten onder de lijn, zoals meters, jaren, uren, chocoladerepen en pizza's. De resultaten van deze nieuwe aanpak, in de kring van rekenvernieuwers wordt al voorzichtig van een doorbraak gesproken, wordt beschreven in haar doctoraalscriptie, want behalve juf is Anita Lek ook student onderwijskunde.

Op het bord staat de som van de vorige dag: Pieter werkt 5/6 jaar bij Albert Heijn. Hoeveel maanden is dat? Hoeveelste deel van het jaar heeft hij vakantie? De helft van 5/6 jaar werkt hij in Wageningen. Hoeveel maanden is dat? Bij de som is een horizontale lijn getekend. Aan het rechter uiteinde staat boven de streep "jaar' en onder de streep "12 maanden'.

Juf Anita kijkt vragend de kring rond, hoe hebben ze de opgave opgelost? Roel heeft zijn lijn in zes stukken verdeeld en de maanden geteld: 1/6 is gelijk aan twee maanden. "Pieter werkt 10 maanden per jaar bij Albert Heijn', concludeert hij. Dat Pieter dus twee maanden vakantie heeft was niet moeilijk uit te rekenen, en hij wist al dat dit 1/6 deel van het jaar was. De breuken heeft hij keurig boven de tijdsbalk geschreven, de maanden eronder. Maar toen hij de laatste vraag moest oplossen kwam hij in de problemen, want hoeveel is de helft van 5/6? Tweeëneenhalf/zesde staat zo raar, vindt hij, het is een breuk in een breuk.

Imre biedt uitkomst, hij heeft zijn balk in twaalf stukjes verdeeld en zo kon hij eenvoudig vaststellen dat Pieter vijf maanden in Wageningen werkte. De helft van 5/6 is 5/12, weet hij zelfs.

Anita deelt twee nieuwe opgaven uit, de kring wordt opgeheven. Terug op zijn plaats heeft Wicher duidelijk moeite met de som van de drie cylinders. "Ik kom net van een andere school' zegt hij zachtjes, "daar heb ik heel anders breuken gehad, ik snap dit eigenlijk niet zo goed.'

De cylinder is vijf centimeter hoog heeft hij gemeten, maar hoe maak je daar acht stukjes van? Na veel denkwerk en gegum heeft hij de oplossing gevonden: hij maakt de cylinder drie centimeter hoger. De andere kinderen maken de verdeling op het oog, of door eerst de helft te nemen, de twee stukken doormidden te delen en die stukjes weer te halveren. In iedere cylinder kan acht liter.

Zonder veel moeite berekenen ze hoeveel liter er in de eerste cylinder zit als deze voor 1/4 is gevuld, en hoeveel in de tweede als deze voor 3/8 vol zit. Ook als gevraagd wordt om de helft van de eerste cylinder in de derde te gooien, daar vervolgens alles van de tweede cylinder bij te gooien en uit te rekenen hoeveel liter en hoeveel delen er dan in de derde cylinder zitten, roept dat geen noemenswaardige rekenproblemen op.

Het experiment met de dubbele getallenlijn werd door Anita Lek in de eerste maanden van het schooljaar rustig opgebouwd. "We begonnen met breuken uit de dagelijkse spreektaal', vertelt ze, "zoals een half uur, een kwart appel, een boek dat voor drievierde uit is. Als volgende stap vroeg ik de kinderen een vaas voor driekwart met bonen vullen.'

Daarna kwam de slak die over het bord kroop en, als alle andere slakken, een slijmspoor achter liet. Hoever is hij gekomen, en welke afstand heeft hij al afgelegd? Een eerste poging om een concreet voorbeeld te symboliseren, want het spoor dat de slak over het bord trekt is in feite de getallenlijn, waar de kinderen later zo handig gebruik van zullen maken.

"Via deze concrete benadering maak je de breuken grijpbaar voor ze', is de overtuiging van Anita Lek, "ze zien wat de relatie is tussen het cijfer onder de streep en dat erboven. Ze weten: ik heb vier stukken en ik neem er drie van.' Het leuke vindt ze vooral dat de kinderen de sommen op hun eigen niveau oplossen: "Sommigen rekenen alleen met stukjes of maanden, anderen gaan via de stukjes naar de breuk en een enkeling rekent meteen met breuken.' Dat ze na een paar maanden al kunnen vermenigvuldigen met breuken, zoals in de som van Pieter die de helft van 5/6 jaar in Wageningen werkt, is opzienbarend, want normaal gesproken wordt er drie jaar voor de breuken uitgetrokken.

"Ik ben altijd goed in rekenen geweest op de lagere school', zegt Anita, "dus ik had zelf nooit problemen met breuken. Maar toen ik eenmaal voor de klas stond merkte ik dat de kinderen de truucjes blindelings toepasten. Ze wisten absoluut niet wat het betekende als je 3/4 met 2/3 vermenigvuldigde. Bij deze opgaven noem ik de som niet eens, ze vermenigvuldigen, maar weten het zelf niet.'