Freudenthals laatste boek over wiskunde-onderwijs; Rekenlessen uit de realiteit

Moedertaal en Freudenthal, dàt zijn de kernvakken van het basisonderwijs - aldus luidde een grapje uit de jaren zeventig. Kernachtiger kan de identificatie van Freudenthal met het vak rekenen- wiskunde niet worden uitgedrukt.

Freudenthal, H.: Revisiting Mathematics Education. China Lectures. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 1991.

Freudenthal is de grondlegger van het zogenoemde realistische reken-wiskunde-onderwijs. Hij zette twintig jaar geleden als hoogleraar-directeur van het Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs (IOWO) het vak rekenen-wiskunde op een nieuw spoor. Weg van het verschraalde traditionele rekenen. Maar weg ook van de formalistische New Math-beweging die toentertijd vanuit de Verenigde Staten de wereld overspoelde.

Nieuw in Freudenthals visie is niet zozeer dat hij de alledaagse werkelijkheid als toepassingsgebied in het wiskunde-onderwijs wil betrekken, als wel het onderwijsprincipe dat die werkelijkheid als bron voor het leren van rekenen-wiskunde moet fungeren. Vandaar de term ”realistisch' reken-wiskundeonderwijs.

Daarbij moet worden aangetekend dat ”de realiteit' niet exclusief fysisch moet worden opgevat, maar dat daarmee ook de betekenisvolle werkelijkheid wordt bedoeld. Op den duur worden daarin ook steeds meer elementen van de formele symbolenwereld betrokken (zeg maar de ”zuivere' wiskunde).

In ”Revisiting Mathematics Education' dat zojuist is verschenen en waarvan Freudenthal het manuscript vlak voor zijn dood voltooide, worden de achtergronden en de didactische principes van dit didactisch realisme nog eens samenvattend beschreven.

”It was his last major contribution to our field and it offers the reader a kind of synopsis of his perspectives. It is the definitive Freudenthal', schrijft Alan Bishop in het voorwoord.

Aan de hand van een voorbeeld - Freudenthals stijl volgend - zal ik enkele punten uit dit boek aanstippen. En wel met de laatste onderwijssuggestie die hij de medewerkers van ”zijn' vakgroep (in september 1991 omgedoopt tot Freudenthal Instituut) deed toekomen via het volgende knipsel uit NRC Handelsblad:

Polen bekend als harde werkers

Ieder jaar komen tienduizenden Polen naar Nederland om enkele maanden te werken in de bloembollenteelt.

Zygmunt is al voor de vier de keer in Nederland. Hij heeft in bollenvelden en kassen gewerkt. Nu werkt hij op de transportafdeling van een bedrijf op de bloemenveiling. ””Ik laad vrachtwagens in, dat is zwaar werk. Gemiddeld werk ik 220 uur per week. Dat is goed. Want zo verdien je'', aldus Zygmunt.

Kinderen van een jaar of negen blijken de opgave ”Kan dat, een werkweek van 220 uur?' op vele manieren te beantwoorden:

- Ik heb geen flauw idee, ik heb ”ja' gegokt.

- Nee, want mijn moeder werkt al 180 uur in de week. Als hij harder zou werken dan is ie de hele dag bezig.

- Ja, omdat je vrachtwagens kan laden en bollenvelden kan op laten groeien.

Interessante antwoorden omdat hieruit blijkt dat kinderen dit probleem niet vanzelfsprekend mathematiseren, dus vatbaar maken voor narekenen door bij voorbeeld zelf het gegeven aan te dragen dat een dag 24 uur heeft en een week 7 dagen. Kinderen van 5 à 6 jaar bezitten die kennis veelal nog niet. En sommige negenjarigen blijkbaar ook niet. In ieder geval gebruiken ze dergelijke referentiegetallen niet.

Maar ook als ze wel over die kennis beschikken, blijken de redeneringen en berekeningen ermee vaak aanzienlijk te verschillen. Twee voorbeelden:

7 x 20 = 140

7 x 4 = 28

samen 168

Dat gaat dus niet, ook al zou hij de hele dag werken, dan komt hij nog niet aan 220 uur per week.

24

7x

168

Kenmerkend voor Freudenthals visie op het reken-wiskundeonderwijs is dat hij niet alleen oog heeft voor verschillen, maar vooral ook dat hij die verscheidenheid nadrukkelijk voor het onderwijs wil gebruiken. Zo kan de eerste oplossing benut worden om het vermenigvuldig-algoritme van de tweede oplossing inzichtelijk te maken. Of nog sterker en algemener: de hoofdrekenmethode kan als grondslag dienen om de cijferprocedures door de kinderen zelf te laten ontwikkelen.

Hiermee is de bron voor het onderwijs nog niet uitgeput: ook handig rekenen en schatten kunnen ten voorbeeld worden gesteld:

- Een dag heeft 24 uur, dan doe ik

7 x 25 = 175 uur min 7 uur = 168 uur, antwoord ”nee'.

- Nee, want 10 werkdagen is al 240 uur, dus 220 werkuren zou dan ruim 9 dagen zijn.

Kortom, uit dit ene voorbeeld blijkt hoeveel mogelijkheden tot leren rekenen er in één contextprobleem verscholen liggen. Niet dat al die kansen allemaal met zo'n opgave ook daadwerkelijk uitgebuit moeten worden, maar één of enkele mogelijkheden zou men kunnen kiezen.

Rekenen-wiskunde kan op een natuurlijke manier uit de realiteit worden ontwikkeld: de formele regels en procedures kunnen uit de informele aanpakken van de leerlingen worden afgeleid - dat is de kern van Freudenthals didactisch realisme.

Het eerste deel van ”Revisiting Mathematics Education' geeft een diepgaande analyse van dit specifieke ”common sense' karakter van de wiskunde. ”Specifiek' omdat de wiskundige activiteit zich daarmee, volgens Freudenthal, onderscheidt van de natuurwetenschappen. Elementaire wiskunde werd op vele plaatsen in de wereld op onafhankelijke wijze uitgevonden, maar er is maar één Newton. De wiskunde ontwikkelt zich volgens een geleidelijk voortschrijdend proces. Primitieve wiskundige noties behouden hun oorspronkelijke waarde als kennis, vaardigheid en inzicht toenemen, terwijl de natuurwetenschappelijke intuïties vaak op den duur niet houdbaar blijken. Kortom, rekenen-wiskunde leent zich voor geleide heruitvinding, aldus Freudenthal.

In het tweede deel van zijn boek worden de didactische principes van deze ”guided reinvention' beschreven. Bij het Zygmunt probleem zijn ze reeds aangestipt: uitgaan van rijke contextproblemen, geleidelijk aan algoritmen ontwikkelen, reflecteren, samenwerken, oog hebben voor verschillende niveaus in het leerproces.

Maar om Freudenthals inzichten vollediger recht te doen zouden uiteraard veel meer voorbeelden gegeven moeten worden, waarbij vooral de meetkundige wereldoriëntatie - zijn lievelingsvak - niet vergeten zou moeten worden. En natuurlijk ook het voortgezette wiskundeonderwijs niet.

- Waarom worden schaduwen langer als je van de lantaarnpaal wegloopt en niet als je van de zon wegloopt?

- Hoe komt het dat de kerktoren achter de huizen wegzakt als je de stad nadert?

- Waarom verspringt je duim die je vlak voor je ogen houdt, als je afwisselend het ene en het andere oog dichtknijpt?

- Je ziet de zon niet als je op een zonnige dag uit het raam kijkt. Kun je toch ongeveer bepalen waar hij aan de hemel moet staan?

- Hoe komt het dat de maan met je meeloopt?

(ontwerp A. Goddijn)

Hierbij moet worden aangetekend dat Freudenthal zelf nooit onderwijspakketten en leergangen heeft ontwikkeld.

Vernieuwing

drie concentreert zich op theorievorming, research en dissiminatie. Deze drie aspecten komen het meest zichtbaar in ontwikkelingsonderzoek tot uitdrukking, en daar schenkt Freudenthal dan ook ruim aandacht aan. Ontwikkelingsonderzoek verwijst naar een veelomvattend programma dat gericht is op vernieuwing en verbetering van het onderwijs. Het is research met een belangrijke ontwikkelingscomponent: er wordt niet louter geconstateerd hoe iets ”is' in het bestaande onderwijs, maar veeleer hoe iets ”zou behoren te zijn' en men ontwikkelt het onderwijs dat daarbij past (theoretisch en praktisch bezien). Pas dan wordt geconstateerd of het passend ”is'. Of beter gezegd, ontwikkelen en onderzoeken wisselen elkaar af in een cyclisch proces. Over dit proces moet de onderzoeker rapporteren: de rationele rechtvaardiging van het ontwikkelde produkt moet erin tot uitdrukking komen, zodat ook anderen er bij het ontwikkelen en onderzoeken van onderwijs en het onderwijzen er hun voordeel mee kunnen doen. Ontwikkelingsonderzoek omvat dus meer dan empirische toetsing, maar bevat ook doordenking van allerlei aspecten van de vernieuwing. Zulk onderzoek past echter niet in het gangbare RD en D-model. En evenmin kan het geplaatst worden in de professioneel verzuilde verzorgingsstructuur in Nederland. Het gevolg hiervan is dat in het universitaire onderwijskundige onderzoek geen ruimte is voor ontwikkeling en ontwikkelingsonderzoek. Dit tot schade van de vakmansschap- en onderwijsontwikkeling.

Freudenthal refereert in dit verband herhaaldelijk aan het befaamde IOWO dat in de jaren zeventig zoveel succes had met ontwikkelingsonderzoek, maar dat in 1980 door het streven naar professionele verzuiling en de daarmee gepaard gaande opsplitsing van werkzaamheden moest verdwijnen. Zoveel succes, dat het ontwikkelingsonderzoek toch nog ten dele via intensieve samenwerking binnen een informeel tot stand gekomen circuit gecontinueerd kon worden. Zoveel succes, dat thans vanuit de VS verzoeken bij het nieuwbakken Freudenthal Instituut binnenkomen tot samenwerking op het terrein van ... ontwikkelingsonderzoek.

Dit alles maakt dat ”Revisiting Mathematics Education' internationaal sterk de aandacht zal trekken. Maar of er nationaal ook lessen uit getrokken zullen worden bij het doorbreken van de professionele verzuiling en het herzien van de WOV (Wet op de Onderwijs Verzorging) - dat valt te bezien.

Dr. A. Treffers is hoogleraar domeinspecifieke onderwijstheoriën i.h.b. wiskunde en rekenen aan de Rijksuniversiteit Utrecht.