Alles in Zcherven

Hans Lauwerier, Een wereld van fractals, Bloemendaal: Aramith Uitgevers, 1990; 174 blz.; (f) 32,50 ISBN 90-6834-076X

Het 16 jaar oude Franse, en inmiddels Engelse woord fractal is een neologisme van Benoit Mandelbrot, de aartsvader van de zcherfmeetkunde; het is afkomstig van het Latijnse fractus (gebroken).

Het beste Nederlandse woord voor fractal dat recht doet aan waar het voor moet staan, lijkt mij zcherf; een neologisme gebaseerd op scherf, waarvan de s vervangen is door de z om het van scherf te onderscheiden om naar de zelfgelijkvormigheid van de zscherf te verwijzen.

Een zcherf, wat is dat eigenlijk? De dimensie van een punt is 0, van een lijn 1, van een vlak 2 en van de ruimte 3. Dit is de topologische dimensie. Er zijn ook andere soorten dimensies van verzamelingen punten, in het bijzonder van meetkundige figuren. De zogenaamde zcherfdimensie D van een figuur staat in verband met de mate waarin de figuur het ingesloten oppervlak bedekt en is in het algemeen geen geheel maar een gebroken getal. Zo is de zcherfdimensie van de afgebeelde zeef van Sierpinski D = 1,585...; de topologische dimensie is gelijk aan 1 omdat de zeef in feite een lijnstuk is. Mandelbrot definieerde in 1975 zcherven als meetkundige figuren die een gebroken zcherfdimensie D hebben.

Toen er echter vele figuren bleken te bestaan met een gehele zcherfdimensie ( D = 2) die men ook graag zcherven wilde noemen, is Mandelbrot de gebroken zcherfdimensie niet langer gaan beschouwen als essentieel zcherfkenmerk; daardoor in plaats stelde hij de zelfgelijkvormigheid. Bezie in dit verband de Peanolijn (uit 1887), die een topologische dimensie heeft gelijk aan 1, en een zcherfdimensie D = 2 en dus vlakvullend is: wanneer helemaal getekend, ligt ieder punt van het vlak op de Peanolijn.

ZELFGELIJKVORMIGHEID

Deze zelfgelijkvormigheid raakt het hart van de zaak. Iedereen weet dat in de wiskunde de ingewikkeldheid van de vergelijking die het verband geeft tussen de coordinaten; de vergelijking van een lijn is heel erg eenvoudig, van een cirkel zeer eenvoudig, van een ellips iets minder eenvoudig, etc.

Dat struiken, bomen, groente, kustlijnen, rivieren, wolkenhemels, bergen en wervelstormen ook in een eenvoudige formule kunnen worden gevat, bewijst de zcherfmeetkunde. Het standpunt dat een meetkundig figuur beschreven moet worden door een vergelijking waaraan de coordinaten van alle punten van dat figuur moeten voldoen, wordt in de zcherfmeetkunde verlaten.

Een zcherf wordt stapsgewijs opgebouwd door een verzameling wiskundig goed gedefinieerde opdrachten die men ad infinitum iteratief kan herhalen, of door een complexe afbeelding die men ad infinitum iteratief kan toepassen. Zo ontstaat het beeld van een vorm-atoom dat zich in allerlei combinaties herhaalt iets wat men ook kan zien in de bovengenoemde natuurlijke objecten: bloemkool ziet er grillig uit, maar er zit een zekere regelmaat in de grilligheid. Precies hierin bestaat de zelfgelijkvormigheid van zcherven.

Het verbazingwekkende van de zcherfmeetkunde is niet alleen dat zij figuren beschrijft die op het eerste gezichten door hun grilligheid iedere wiskundige beschrijving tarten, maar dat doet met wiskunde die niet ver uitstijgt boven die van de middelbare school.

Vaktijdschriftafleveringen De zcherfmeetkunde is in 15 jaar uitgegroeid tot een bloeiende tak aan de boom der kennis, compleet met volledige vaktijdschriftafleveringen geweid aan zcherven en jubelende feestbundels voor de founding father Benoit Mandelbrot, die als werknemer bij IBM ook enig talent als funding father niet ontzegd kan worden.

In Een wereld van fractals glijdt professor Hans Lauwerier door de lucht langs de vele zcherven en verzamelingen zcherven die aan de jonge tak der kennis hangen, pikt er even aan, plukt af en toe een zcherfje van de tak en glijdt weer verder. Het boek(je) begeeft zich op het braakliggende terrein tussen de wiskundige verhandeling en het populair-wetenschappelijke verhaal; middelbareschool-wiskunde is voldoende om alles te kunnen volgen.

Wie geinteresseerd is in de wiskundige ideeen achter, of de historische antecedenten van de zcherfmeetkunde, kan zich veel beter tot de boeken van Mandelbrot zelf wenden - die zich min of meer op datzelfde braakliggende terrein begeven. En naar de 'nieuwe visie' op zcherven, die Lauwerier ontwikkeld zou hebben volgens de flaptext, zal men vergeefs zoeken. Voor hen het advies: niet kopen.

WATERVINGERS

Voor wie wil weten waar de zcherfmeetkunde wordt toegepast, is dit boek ook geen ideale keuze. Veel verder dan constateren dat de vorm van vele natuurlijke objecten beschreven wordt door de zcherfmeetkunde, gaat Lauwerier niet. Op de flaptext lezen we dat zcherven zijn toegepast bij het reduceren van fotometrische gegevens, verzameld door een kunstmatige satelliet. Hoe dat dan gebeurt, is in het boek niet te vinden. Problemen worden uiteengezet, maar de oplossing blijft achterwege.

Voorbeeld: de watervingers bij oliewinning. Ruwe olie bevindt zich vaak in gesteente waar het uitgepompt moeten worden. Meestal bevindt zich ook water om de olie, die in slierten door de olie wordt heengezogen doordat de viscositeit (stroperigheid) van water kleiner is dan die van ruwe olie; zo pompt men geen ruwe olie maar vet water naar boven. Dit is het probleem van de watervingers bij oliewinning.

De zcherfmeetkunde beschrijft de vorm van de watervingers, schrijft Lauwerier, en geeft D = 1,75 voor de grens tussen water en olie. Maar hoe deze informatie heeft bijgedragen aan de oplossing van het probleem en wat uberhaubt de oplossing van het probleem is, komt de lezer niet te weten. Blij met een dooie mus.

Maar voor wie op zoek is naar een uitgebreide handleiding bij het tekenen van zcherven met de huiscomputer, is dit boek met zijn vele plaatjes, duidelijke schema's & uitleg, aanbevelingen voor huiscomputereigenaren en 72 programma's, niet minder dan subliem. Voor hen het advies: kopen. Dit oordeel zou eveneens de uitvoering gelden, ware het niet dat formulenummers om onnaspeurbare redenen boven de formule's staan afgedrukt in plaats van tegen de rechterkantlijn, zoals voor de overzichtelijkheid de rest van de wereld het doet. En dit oordeel geldt uitdrukkelijk niet de snoepgoed-omslag van het boek, die geheel past in de Foeilelijke Kermis Kaft Traditie van uitgeverij Aramith.

Ten slotte het Nederlands. Het blijft voor mij een raadsel waarom een Nederlander die een Nederlands boek schrijft voor een Nederlands publiek in de Nederlandse taal Anglicismen gebruikt waar gewone Nederlandse woorden voor zijn: set (verzameling), multifractal (veelzcherf), contractie (samentrekking), instructie (opdracht), inverteerbaar (omkeerbaar), inverse (omgekeerde), inversie (omkering), bifurcatie (splitsing), midpoint displacement (middenpunt verplaatsing), bachtracking (terugsporen).

De voorlopig beste illustratie van W.F. Hermans' stelling dat de Nederlander niet fier is op zijn taal lijkt mij deze: 'Men dient te weten dat set de wiskundige term is voor verzameling.' Binnenkort dient men te weten dat point de wiskundige term is voor punt.

    • F.A. Muller