Wiskundige Vladimir Igorewitsj Arnol'd: 'Russische bijdragen aan de wetenschap worden door het Westen consequent genegeerd'

Vorige maand ontving de Russische wiskundige Arnol'd een eredoctoraat in Utrecht. Hij wordt internationaal beschouwd als een van de grote wiskundigen van onze tijd.

Iedereen heeft zo zijn eigen manieren om beroepsmatige impasses te doorbreken, maar die van Vladimir Igorewitsj Arnol'd is wel uiterst onconventioneel: wanneer hij iets niet kan bewijzen, bindt hij zijn ski's onder en gaat 40 tot 60 kilometer skien, naar verluidt zelfs 'doorgaans in zwembroek'. De ervaring leert, dat de 'moeilijkheden zich dan vanzelf oplossen'.

Arnol'd (53) is een van de belangrijkste hedendaagse vertegenwoordigers van de wiskundige analyse. Op zijn negentiende vestigde hij in een klap zijn naam door het bewijs te voltooien voor de oplossing van het dertiende probleem van Hilbert. Dat bewijs was begonnen door Arnol'ds beroemde leermeester, Andrei Nikolajevitsj Kolmogorov, met wie hij ook de belangrijke KAM (Kolmogorov-Arnol'd-Moser) theorie grondvestte, een theorie met belangrijke toepassingen in de natuurkunde.

Arnol'ds werk kenmerkt zich door zijn directe methoden en het leggen van verbanden tussen geheel verschillende takken van wiskunde. Zijn belangrijkste verdiensten liggen op het gebied van de dynamische systemen en dat van de singulariteitentheorie.

De Moskouse mathemaat spreekt goed Engels, heeft gevoel voor humor en strooit kwistig met krasse uitspraken. Zijn betogen worden regelmatig onderbroken door een aanstekelijke, gutturale lach - bijvoorbeeld als hij het heeft over de vertragingen waarmee brieven van Westerse collega's pleegden aan te komen in de tijd van voor de perestroika.

Arnol'd: ''Die liepen op tot soms wel tien, twintig jaar. Onlangs ontving ik van de posterijen een hele stapel pakketjes en brieven van de afgelopen twee decennia. Men putte zich uit in verontschuldigingen dat ze wat lang waren blijven liggen, ggh-ggh!''

Hoe is de communicatie met het Westen nu? 'Normaal gesproken doet een brief er twee maanden over. De laatste tijd is het iets slechter en loopt het weer op tot vier a zes maanden.

Gelukkig hebben we op ons instituut nu ook e-mail, dat is al heel gemakkelijk. Maar in het algemeen maakt de communicatiesnelheid voor mij niet zo veel uit. In mijn vakgebied tellen de jaren eerder dan de maanden of de weken.'

En hoe zit het met uw reismogelijkheden? U werd twee jaar geleden al voor dit eredoctoraat in Utrecht voorgedragen, maar kon toen niet komen.

'Dat kwam niet omdat ik niet mocht. Het was gewoon omdat ik al te veel andere afspraken had. Voor de perestroika heb ik weliswaar twintig jaar niet naar het buitenland mogen reizen, maar nu het wel mag, krijg ik meer uitnodigingen dan ik kan aannemen.'

Wiskunde is traditioneel een van de sterke punten van de Sovjetwetenschap. Waardoor komt dat?

'In de eerste plaats natuurlijk omdat je er geen dure apparatuur voor nodig hebt. En een belangrijke factor is ook dat de overheid relatief weinig wiskundigen heeft uitgemoord. Ze hebben het vak niet in dezelfde mate vernietigd als bijvoorbeeld de biologie. Daarnaast is er altijd een sterke behoefte geweest aan toegepaste wiskunde, en die kan nu eenmaal niet gedijen los van de zuivere wiskunde.'

Voor wiskunde heb je weinig dure apparaten nodig, zegt u. Maar er wordt tegenwoordig toch erg veel gebruik gemaakt van de computer?

'Ik heb wel eens wat wiskunde op een computer gedaan, maar dat was maar bijzaak. Ik zie de computer gewoon als een rekenliniaal of een tafel van vermenigvuldiging: het is nuttig gereedschap, maar hij vergroot de mogelijkheden alleen maar in kwantitatieve zin.'

Maar de computer wordt toch af en toe gebruikt bij het bewijzen van theorema's, zoals de oplossing van het vierkleurenprobleem?

'Jawel, maar ook daar is hij alleen gebruikt voor het doen van berekeningen, hij heeft alleen maar een groot aantal gevallen afgezocht om een bepaald idee te checken. Eigenlijk is het verbazend dat de computer vijftig jaar na zijn ontstaan nog steeds zo weinig effectief is in de wiskunde. De computer heeft ons vrijwel niet geholpen om theorema's te bewijzen. Hij doet alleen maar traditionele berekeningen op een grotere schaal.'

Over berekeningen gesproken. U heeft eens gezegd dat er in de 200 jaar tussen Isaac Newton en Henri Poincare eigenlijk niets interessants is gebeurd in de wiskunde, behalve saai gereken.

'Dat klopt.'

Terwijl in die periode ook Carl Friedrich Gauss zit, die wordt beschouwd als een der grootste wiskundigen die ooit hebben geleefd!

'Gauss valt niet in dezelfde klasse als Newton of Poincare. Hij leverde belangrijke bijdragen aan de getaltheorie, maar ik vind dat de getaltheorie op zichzelf tegenwoordig sterk wordt overgewaardeerd. Net als de logica en de verzamelingenleer trouwens.'

En wat wordt er ondergewaardeerd volgens u? 'De meetkunde.'

U behoort tot de geometrisch ingestelde wiskundigen? 'Ja, ik denk in plaatjes. Er zijn grofweg drie soorten wiskundigen.

Als je een willekeurige algebraische vergelijking neemt, bijvoorbeeld x + y = 1, de beschrijving van een cirkel met straal 1, dan vorm ik me meteen een beeld van een cirkel in mijn hoofd. Maar er zijn ook wiskundigen die algebraisch denken en die het als een ring van functies beschouwen. En een derde categorie ziet alleen maar de formule.'

U denkt dus vooral meetkundig. Wat voor een leek altijd zo moeilijk te begrijpen valt, is hoe meetkundigen in vier, vijf of meer dimensies kunnen denken.

'Maar daar is juist niets geheimzinnigs aan. Je kunt zo veel dimensies visualiseren als maar nodig is. Het gaat heel simpel, net als bij het denken aan iets in drie dimensies. Daarbij gebruik je meestal doorsneden van of projecties op tweedimensionale vlakken - denk maar aan een plaatje van een kubus in een boek: dat lijkt driedimensionaal, maar in werkelijkheid is het tweedimensionaal. Zoiets kun je doen voor elk willekeurig aantal dimensies: vier, vijf en ga maar door. Je kunt je altijd tweedimensionale beelden vormen van doorsneden en projecties en daar valt uitstekend mee te werken.'

Maar met het aantal dimensies neemt het aantal doorsneden en projecties wel razendsnel toe!

'Dat is wel zo, maar met een stuk of honderd tegelijk is het nog steeds makkelijk werken. Het is te vergelijken met wanneer een ingenieur werkt met een grote machine. Die kan hij ook niet in een keer overzien, daar heeft hij zijn detailtekeningen voor. En met die losse tekeningen kan hij in de praktijk goed uit de voeten.'

U bent een leerling van de grote Kolmogorov. Heeft hij veel invloed gehad op uw stijl?

'Nee, totaal niet. Kolmogorov had een sterk axiomatische benadering. Hij was erg beinvloed door het idee van democratie in de wiskunde, die er op neerkomt dat alle axioma's het zelfde recht hebben om bestudeerd te worden. Gelijke rechten voor elk stelsel van axioma's, zou je kunnen zeggen! Maar ik houd helemaal niet van zulke democratie, want ik geloof dat sommige problemen en theorieen veel belangrijker zijn dan andere.

'Kolmogorov was beinvloed door de school van Hilbert, en door Brouwer hier in uw land. Voor mij is dat grondslagengedoe het slechte deel van de wiskunde, het is compleet dood. Het komt neer op massaproductie van volstrekt oninteressante resultaten. Dat zie je in de wiskunde altijd: zodra zich iets oninteressants voordoet, stort zich er een meute epigonen op.'

'Dood' betekent voor u dus zoveel als overbegraasd? 'Ja, natuurlijk! Interessant is alleen het pionieren in ongeexploreerde gebieden. Je moet altijd loodrecht op de hoofdrichting gaan wil je iets interessants vinden. Kolmogorov probeerde altijd precies met de hoofdrichting mee te gaan en omdat hij zo veel talent had, slaagde hij daar nooit helemaal in. Hij sloeg altijd zijpaden in en die bleken achteraf dan het belangrijkst, alhoewel hij zijn axiomatisch hoofdroute zelf het hoogst schatte.'

U heeft niet veel op met die axiomatische methode. 'Nee. Bertrand Russell heeft eens gezegd dat de axiomatische methode voordelen heeft, vergelijkbaar met die van stelen. Ik geef de voorkeur aan eerlijk werk!'

Een boek als de Principia Mathematica van Russell en Whitehead kunnen we volgens u dus net zo goed in de prullenbak gooien?

'Jazeker. Dat heeft niets te maken met echte wiskunde, het is hooguit historisch interessant. Men overdrijft altijd over de invloed van de Principia op computers en kunstmatige talen, maar voor mij komt het neer op diefstal van wat serieuze mensen daarvoor hebben gedaan.

Russell en Whitehead hebben voor mij niets nuttigs gedaan, ik heb nog nooit de gelgenheid gehad iets van ze te gebruiken. Wat zij deden, maakt op mij de indruk niets te maken te hebben met de wiskundige realiteit maar lijkt meer op de middeleeuwse discussie over de vraag hoeveel engelen er op de punt van een naald kunnen.'

Hoe zou u uw eigen stijl willen karakteriseren? 'Ik vind het leuk om onverwachte relaties te ontdekken tussen klassieke objecten die al eeuwen bestudeerd zijn. Het resultaat moet iets zijn dat wiskundigen van eeuwen terug zouden kunnen waarderen.

Dat is mijn idee van wat goede wiskunde is.'

Uw werk heeft raakvlakken met onderwerpen die bij het lekenpubliek in de belangstelling staan. Zo heeft uw werk aan dynamische systemen te maken met de chaostheorie.

'Het vervelende met die chaostheorie is dat er niets nieuws onder de zon is. Hoewel men doet voorkomen alsof het nieuw is, zijn alle essentiele ideeen al zeventig jaar geleden bedacht door Henri Poincare. Mensen die de chaotische dynamica met computers zijn gaan visualiseren, pretenderen dat zij iets ontdekt hebben, maar dat is meestal niet zo. In het algemeen geldt in de wiskunde dat wanneer een bepaalde ontdekking aan iemand wordt toegeschreven, die toeschrijving altijd verkeerd is.'

Echt? 'Echt. Dat is de normale situatie en het heeft dan ook geen enkele zin om je daar al te druk over te maken. Wat ik wel vervelend vind, is dat Russische bijdragen in het Westen stelselmatig worden genegeerd.

Publicaties in het Russisch bestaan hier gewoon niet. Ze worden soms wel vertaald, maar dan altijd twee, drie of soms wel twintig jaar later - en wat dan geciteerd wordt is de vertaling. Het is niet zozeer een kwestie van kwade wil alswel een sociaal probleem: de wiskundige gemeenschappen in Oost en West zijn te sterk van elkaar gescheiden.

Als je elkaar niet persoonlijk kent, zul je ook niet snel aan elkaars werk refereren.'

Misschien verbetert die situatie nu er meer heen en weer wordt gereisd?

'Ik vrees van niet, want het reizen is vooral eenrichtingsverkeer. Er is op dit moment een brain drain aan de gang van jong wiskundig talent naar het Westen.'

Wat vindt u daarvan? 'Het is erg moeilijk om daartegen bezwaren te maken als je bedenkt dat het verschil in levensstandaard meer dan een factor honderd bedraagt.

De huidige toestand in de Sovjet-Unie is rampzalig. Er is een ineenstorting aan de gang en wat er in de toekomst zal gebeuren is niet te voorspellen. Het is niet zo gek als je onder die omstandigheden wilt emigreren.'

Heeft u er zelf wel eens over gedacht om dat te doen? 'Ik geef er de voorkeur aan om het niet te doen. Ik ben erg verknocht aan mijn land, ben behoorlijk oud en heb mijn hele leven in het systeem meegedraaid. Dan is het ook natuurlijk dat ik mede door de ineenstorting word gestraft, ggh-ggh!''

Arnol'd speelt een leidende rol in twee onderzoeksgebieden: die van de dynamische systemen en die van de singulariteitentheorie.

Dynamische systemen zijn (meestal door de fysica geinspireerde) wiskundige modellen, waarin de verandering in de tijd wordt beschreven door relatief eenvoudige wetten. Een dynamisch systeem kan uiteenlopen van een eenvoudige slinger tot een compleet sterrenstelsel. Doel van de theorie is, om te beschrijven hoe het systeem zich over een langere periode in de tijd ontwikkelt, uitgaande van alle mogelijke begintoestanden.

Arnol'd is onder meer wereldberoemd geworden door zijn bijdrage aan de zogeheten KAM (Kolmogorov-Arnol'd-Moser)-theorie. Deze theorie betreft quasiperiodieke bewegingen in klassiek-mechanische systemen die bijna-integreerbaar zijn. Een voorbeeld van zo'n bijna-integreerbaar systeem is het zonnestelsel. Hier bestaat de integreerbare benadering uit de idealisering, dat de planeten een verwaarloosbare massa hebben in vergelijking tot de zon.

Quasiperiodieke bewegingen zijn combinaties van periodieke bewegingen met verschillende perioden. In het geidealiseerde zonnestelsel zien we dit optreden in de gecombineerde beweging van de planeten. In de figuur is een combinatie van twee periodieke bewegingen getekend. Deze ziet eruit als een rondwentelende baan op een torus (fietsband).

Volgens de KAM-theorie nu hebben bijna-integreerbare systemen nog steeds zeer veel quasiperiodieke oplossingen. De andere (niet-quasiperiodieke) bewegingen blijven daar meestal lang 'in de buurt hangen', maar schieten ook af en toe naar een volgende quasiperiodieke torus. Dit verschijnsel wordt Arnol'd diffusie genoemd.

Sinds het eind van de jaren zestig heeft Arnol'd ook een indrukwekkende activiteit ontplooid in de singulariteitentheorie. Dit is het onderzoek van functies van een of meer variabelen, in de buurt van punten waar de functie een lokaal maximum of minimum heeft. Of, bij twee of meer variabelen, een zadelpunt (een mimimum in de ene, een maximum in de andere richting), dan wel een punt waar de functie zich nog ingewikkelder gedraagt.

Dit ingewikkelde gedrag van de functie kan zich uiten doordat de functie heel vaak op- en neergaat wanneer men om het punt een klein rondje loopt. Kleine storingen van de functie doen het speciale punt uiteenvallen in een aantal lokale maxima, minima en zadelpunten van het eenvoudigste type. Arnol'd heeft de klassificatie van de mogelijkheden tot indrukwekkende hoogten opgevoerd. De singulariteitentheorie kent vele toepassingen, zoals bij de berekening van interferentiepatronen van hoogfrequente golven.