Gnomonische groei in het verdringingsmodel

De Italiaan Leonardo di Pisa, bekend geworden als Fibonacci, beschreef zijn reeks in 1202.

Startend met de termen 1 en 1, telde hij steeds de beide laatste termen bijeen om de eropvolgende te verkrijgen 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, enz. Op de bloemhoofdschijf van een zonnebloem kan men spiraalachtige rijen pitten onderscheiden (figuur 3, 4). In een zonnebloemenveld had 94% van de bloemen aantallen spiralen volgens de Fibonacci-hoofdreeks (1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ), 5% volgens de eerste nevenreeks of Lucasreeks (1, 3, 4, 7, 11, 18, ... ) en 1% volgens de bi-jugate reeks of Fibonacci-dubbelreeks (2, 4, 6, 10, 16, 26, ... ).

De rij van Fibonacci staat in nauw verband met de Gulden Snede. Wanneer een lijnstuk in tweeen wordt verdeeld kan dat op een zodanige plaats, dat geldt: 'Het geheel verhoudt zich tot de Major, als de Major tot de minor.'. Het grootste deel wordt Major genoemd en het kleinste deel minor (m), (figuur 5), zodat we kunnen schrijven: (M+m)- M = M-m.

De verhouding M-m blijkt te worden benaderd door de verhouding tussen twee opeenvolgende termen uit de rij van Fibonacci. Hoe groter de termen, hoe dichter wordt de Gulden Snede genaderd.

De hoek tussen twee opeenvolgende blaadjes aan een stengel, die een Fibonacci-fyllotaxis toont, blijkt te fluctueren rond 137, 5.

Het complement van deze hoek is 360-137, 5=222, 5. Het bijzondere aan de hoek is dat 360-222, 5 gelijk is aan 222, 5-137, 5 en dat is dus de Gulden Snede.

Kunstenaars uit oude en nieuwe tijden gebruikten deze verhoudingsfactor 1, 61803... , zijnde (1+V5)-2, als een hulpmiddel om in een compositie een zeker evenwicht te bereiken. Daarbij werd uitgegaan van het bovennatuurlijke karakter van de verhouding: er is sprake van een 'limiet voor n naar oneindig'. Men zag hierin een neiging naar het volmaakte. De mythische ongrijpbaarheid van de Gulden Snede is niet in de natuur geworteld, maar in het hoofd van mensen, die menen dat de natuur een verhouding nastreeft. Het is natuurlijker om eindige waarden uit de reeks van Fibonacci te nemen. Daardoor ontstaan eenvoudige relaties in aantallen, zoals een raam met 8x5 ruitjes (waar de verhouding 1, 6 bijhoort).

Gnomonische groei

Sommige groeiprincipes zijn zo elementair, dat ze zowel in de planten- als in de dierenwereld veelvuldig voorkomen. Waar stoffen worden afgescheiden, om vervolgens uit te harden, is sprake van een zekere optelling. Een slak groeit tijdens zo'n proces. Het resultaat is een gnomonisch gevormd slakkehuis. Het gedeelte, dat de slak het laatst toevoegde aan zijn huis, wordt gnomon genoemd.

Algemener is het geometrische model. Ga uit van een willekeurige driehoek ABC(figuur 6). Voeg een trapezium B'BCC' toe. De nieuwgevormde driehoek AB'C' is gelijkvormig aan de oorspronkelijke driehoek ABC. Vierhoek B'BCC' is de gnomon.

Het is gemakkelijk in te zien, dat de nieuwe driehoek als uitgangspunt kan dienen voor een verdere uitbreiding, enzovoort. Andere gnomonische groeivormen ontstaan door het steeds toevoegen van een willekeurige vierhoek. Een wigvormige gnomon veroorzaakt een spiraal (vergelijkbaar met de Nautilus). In de ruimte kan een helix het resultaat zijn. Hoorns, haren en tanden groeien gnomonisch.

Niet alleen dode produkten van dieren en de mens, ook zijzelf groeien in principe gnomonisch. De gnomon van een groeiende cirkelschijf is een concentrische ring. Een schedel groeit, doordat materiaal aan de buitenzijde wordt toegevoegd (de gnomon) en aan de binnenzijde wordt weggenomen. Door de complexiteit van het proces is een baby niet zuiver gelijkvormig aan een volwassene.

Ook planten groeien gnomonisch. Het groeimechanisme werkt hier andersom: een groeitop zet materiaal af. Dit materiaal leeft echter en kan zich differentieren, zich delen en uitgroeien. Daardoor is het resultaat niet meer zuiver gnomonisch. In een vroeg stadium is de groei echter wel degelijk gnomonisch. Voor het verdringingsmodel (zie verder) is dit essentieel.

Een varenblad heeft een gnomonische opbouw. Delen zijn gelijkvormig aan het geheel, meerdere niveaus diep.

Het gnomonische karakter van een zonnebloemhoofd blijkt uit het volgende experiment. Ontdoe het bloemhoofd van alle delen, die niet pitvormig zijn. Het resultaat is een praktisch cirkelschijfvormige close-packing van pitten. Pluk de oudste pit af. Deze zit aan de rand. De schijf behoudt zijn cirkelvorm, al is hij wat kleiner. Pluk de nu oudste pit en de vorm blijft rond. Zelfs wanneer men 100 pitten plukt, van oud naar jong, de vorm verandert niet. De gnomon is hier dus de oudste pit en niet de jongste. Voor het verdringingsmodel is deze omkering zeer bruikbaar (zie hierna). In het groeiproces is de gnomon echter steeds de centrale jongste pit.

Ordeningsprincipes

We nemen een centrum aan, waarin primordia (minuscule plantedelen) ontstaan. De primordia verdringen elkaar om zich een plaats te verwerven in een centrische structuur. We bekijken het groeicentrum sterk vergroot en geven de (groeiende) primordia aan met cirkelschijven, elementen. Het tekenen van de eerste drie elementen is nauwelijks een probleem (figuur 7).

Uit de drie mogelijke principe-configuraties kiezen we de lineair-asymmetrische (c). Immers, de symmetrische varianten hebben een evident vervolg. Ofwel, een nieuw element ontstaat perifeer aan de lineaire, niet-centrische structuur (a), ofwel een nieuw element ontstaat precies tussen de beide voorgangers (b).

Voor de plaats van het vierde element zijn er nu vijf mogelijkheden. (figuur 8). Twee daarvan (c1 en c1), met het nieuwe element perifeer, hebben weer een evident vervolg. In geval c1 ontstaat een spiraliserende structuur als van varens (de eerste vier elementen vormen reeds een kleine spiraal). In geval c2 ontstaat een alternerende (zig-zag-)structuur.

De overige gevallen zijn centrisch: voorgaande elementen worden uit elkaar gedrukt. Maar hoe? Welke elementen worden gescheiden? Wanneer de oudste twee worden gescheiden (c3), dan blijkt (zie verder) het begin te zijn gemaakt van een Fibonacci-structuur. Wanneer de jongste twee worden gescheiden (c4), dan is dat een consistent vervolg na de configuratie b en niet na c. En wanneer het jongste en het oudste element uiteen worden gedrukt (c5), blijken er afwijkingen (lees: nevenreeksen) te ontstaan.

Bij het vergelijken van de structuren c met vervolg c5 kunnen we iets merkwaardigs vaststellen. Beide structuren zijn ruwweg, zeker in fractale taal, gelijkvormig. De structuur met drie elementen is congruent aan een deel van de structuur met vier elementen. De laatste eigenschap maakt het mogelijk, de tweede figuur te beschouwen als de eerste, met toevoeging van een grootste element (de gnomon) en gedraaid over een zekere hoek. Zetten we deze manier van kijken voort, dan kunnen we een heel bloemhoofd construeren.

Het verdringingsmodel

Aan een structuur voegen we steeds een cirkel toe als gnomon. De grootte volgt uit een groeifunctie, die bepaald is door erfelijke en omgevingsfactoren. Overigens, de grootte van het element is niet van invloed op het al of niet ontstaan van Fibonacci-getallen. De plaats volgt uit het algoritme n: =n+1, p: =p+1 en q: =q+1 n staat voor het rangnummer van de nieuw te construeren cirkel; p en q staan voor de rangnummers van de beide draagcirkels van de nieuwe cirkel. (Een zekere cirkelschijf wordt door een tweetal buurcirkelschijven van de groeikern weggeduwd. Zo is in de structuur met vier cirkels cirkel 4 van het groeicentrum weggeduwd door 1 en 2.)

Om redenen van eenduidigheid construeren we structuren in relatie tot een XOY-assenstelsel, waarbij O het groeicentrum voorstelt. De eerste drie elementen (Units) worden gedefinieerd met U als groeicentrum. r en r worden afgeleid uit de groeifunctie. De gegevens in de matrix komen overeen met de startstructuur (figuur 9). Het is noodzakelijk, p en q uit elkaar te houden. We stellen, dat Uq altijd positief, dus tegen de klok in, ten opzichte van Un is gelegen (figuur 10). De matrix is:

In het verloop van de constructie (reeds bij n=4) ontstaat een probleem. Cirkels mogen elkaar niet snijden. Wanneer dat dreigt, moeten de oudste cirkels in kwestie worden gescheiden, precies overeenkomstig het beginsel. (figuur 11). De matrix ontwikkelt zich bijvoorbeeld als: rn volgt steeds uit de groeifunctie. De middelpuntscoordinaten xn en yn worden berekend door het construeren van steeds grotere cirkels Un, die de structuur uitwendig raken aan Up en Uq. Herhaalde toepassing van het bovengenoemde algoritme leidt tot spiralen in onbeperkte aantallen (figuur 12). Dit is begrijpelijk, als we bedenken, dat in de rand van een bloemhoofdschijf een beperkt aantal elementen past. Door elk element gaat een spiraal.

Is de omtrek van de schijf onbeperkt, wat voor het vlakke model geldt, dan is de fyllotaxis ongelimiteerd (A). Tot hiertoe was sprake van een vlakke structuur. Gelimiteerde fyllotaxis (B) houdt in, dat de omtrek van de structuur beperkt is, zoals in het geval van stengels. We zien hier dan ook helices volgens lage termen uit de Fibonacci-reeks.

Om een constructie te maken blijven we uitgaan van een centrisch oppervlak, ditmaal echter in de vorm van een paraboloide (een om zijn as gedraaide parabool). Vanaf het groeicentrum (de top) worden bollen geconstrueerd. Het middelpunt van elke bol ligt op het manteloppervlak en bollen raken elkaar volgens het bekende algoritme (figuur 13).

Combinatie van de modellen A en B (figuur 14) in een omvattend bollenmodel levert zeer realistische structuren op. (figuur 15).

In analogie met de natuur kunnen we elementen naar hartelust verplaatsen in axiale en radiale richting, tot bijvoorbeeld gedrongen of langgerekte structuren (transleren) en differentieren (vervormen, tot bijvoorbeeld bladeren of vlakvullende raten).

Het blijkt overigens, dat invoeren van natuur-vreemde gegevens blijft leiden tot regelmatige Fibonacci-structuren. Zo ontstond de fractale structuur van fig. 16 na een krimpproces. En: in plaats van elementen kan een computer bijvoorbeeld middelpunten ervan met elkaar verbinden (figuur 13). Het aantal geometrische variaties is onbeperkt (figuur 17).

Afwijkingen

In een zonnebloemenveld vindt men, zoals gezegd, niet alleen de Fibonacci-fyllotaxis. Omdat de rij van Fibonacci wordt begeleid door andere reeksen, die ver in de minderheid zijn, kunnen de laatstgenoemde reeksen worden gezien als afwijkingen op een regel. De regel is het beschreven algoritme. De afwijking is een alternatieve start.

Kiezen we als start-configuratie c5 en vervolgen we met het normale algoritme, dan ontstaat de Lucasreeks. Laten we steeds 2 primordia terzelfder tijd ontstaan, dan geeft dat de dubbelreeks. Deze kan zich uiten in een tegenoverstaande bladstand. (figuur 18). In het veld gesignaleerde afwijkingen blijken in het theoretische model zeer voor de hand te liggen.

    • Frank van der Linden
    • Dr. F. M. J. van der Linden
    • wiskundige
    • is verbonden aan de TU Eindhoven