De hoek van 137, 5

Zolang de mens de natuur beschouwt, zolang verwondert hij zich over haar rijkdom in vormen en structuren. We stellen ons vragen over de golven van de zee en de rillen in het harde strandzand. Sommige wolken doen denken aan die rillen.

Wat is de oorzaak van craquele in het glazuur van aardewerk? Welke regels worden daarbij gevolgd? Het ene glazuur barst anders dan het andere. Een moddervlakte droogt op in karakteristieke scheurpatronen.

Droogkokende melk toont merkwaardige opstaande randjes volgens een cellenpatroon. Wanneer we olie verwarmen zien we aan de stroompatronen, hoe zo'n regelmaat kan ontstaan. In het groot blijken luchtverplaatsingen in onze atmosfeer gelijksoortige patronen te volgen.

Zijn er regels, die de vorm van de vlekken van een bonte koe bepalen, of minstens beperken? Hebben die regels dan iets te maken met de vorm van wolken, meren, eilanden? Wat zit er achter de spiralen, die een zonnebloem toont in haar bloemhoofd? Structuren, structuren.

Tot enkele tientallen jaren geleden waren wetenschappers uitsluitend gericht op ordelijke patronen. Pas onlangs ontstond belangstelling voor chaotische patronen. Voorbeelden daarvan zijn bliksemschichten, turbulente stromingen, koeievlekken. Zowel in de dode als in de levende natuur begon men 'fractals' te herkennen. Het woord fractal is bedacht door de wiskundige Benoit B. Mandelbrot. Zijn boek 'The Fractal Geometry of Nature' plaatst de Euclidische geometrie (de meetkunde van punt, lijn, vlak en volume) in de schaduw van een nieuwe geometrie. Bij nauwkeurige beschouwing blijkt de natuur de Euclidische geometrie niet te kennen. Het zijn de mensen, die hun wielen rond maakten, kogelrond. Zij produceerden kaarsrechte rails. Zij kenden lange tijd slechts punt, lijn, vlak en volume. Middelpunt, straal, oppervlak, bollichaam. Hoekpunt, ribbe, vierkant, kubus.

De nieuwe geometrie

Twee eigenschappen van de nieuwe geometrie zijn belangrijk. Ten eerste self-similarity. Dit is eenvoudig het begrip dat een structuur opgebouwd kan zijn uit delen, die min of meer gelijkvormig zijn aan het geheel. De delen kunnen weer uit gelijkvormige delen bestaan, enz. (figuur 1).

De tweede eigenschap is de neiging van structuren om zich als het ware te begeven tussen de Euclidische dimensies in. Een voorbeeld. Samen met talloze zijrivieren en stroompjes neigt een meanderende rivier ertoe, het land te beslaan. De rivier is weliswaar grillig, maar in wezen lineair, eendimensionaal, terwijl de vlakte tweedimensionaal is.

Mandelbrot zei: “ De rivier is een fractal.” Hij ging verder en formuleerde zeer veel natuurlijke structuren in zijn nieuwe taal. Bekend is zijn volgende gedachtenexperiment. Meet de kust op van Groot-Brittannie met een lat van een meter lang. Het resultaat is een getal van zekere grootte. Neem nu een kleinere meetlat, zodat de precisie toeneemt. Het resultaat is een groter getal dan het eerste. Dat komt door de grilligheden kleiner dan 1 meter, die eerst werden overgeslagen, maar nu konden worden opgenomen. Veel hangt dus af van de grootte van de meetlat. Daarnaast kun je niet altijd precies zeggen: “ Op dit punt is er water”. Er is soms sprake van een moddervlakte: deze heeft dimensie 2. Bij elke kustlijn hoort nu een karakteristiek, 'gebroken' getal tussen 1 en 2. Dit getal is een maat voor de grilligheid van de (fractale) kustlijn.

Fractals zijn structuren, die tussen ordelijke uitersten liggen. Tussen zee en land loopt de kustlijn. Tussen een laminaire ('gelaagde') stroming en een draaikolk ligt turbulente stroming. Tussen land en lucht is de levende boom als long van de aarde.

De dode natuur ordent. Zij heeft oogkleppen op bij het stapelen van haar bouwstenen. Zij is blind, als zij zeepbelstructuren ontwerpt en gebruikt daarbij altijd hoeken van 120. (figuur 2). Typisch is dat patronen van binnenuit ontstaan, vanaf het kleine. Modder scheurt, theekopjes craqueleren, een autoruit verbrijzelt: steeds is het resultaat een karakteristiek patroon, afhankelijk van materiaal en omstandigheden. De vorming van bliksem mogen we in dit rijtje plaatsen. Kristallen van ijs, suiker en zout worden gevormd door het overgaan van de vloeibare naar de vaste fase of van de gasvormige naar de vaste fase. Het hoort allemaal in het rijtje.

Ook de levende natuur gehoorzaamt aan deze ordeningswetten. Maar de bouwsteen die de levende natuur ter beschikking heeft, kan zeer complex zijn, bijvoorbeeld een cel, een weefsel, een orgaan. En er zijn ingewikkelde feed-backsystemen in verschillende grootte-ordes.

In dit artikel beperken we ons tot het plantenrijk. We zullen kijken naar de plaatsing van plantedelen en niet naar de vorm ervan. Waar staan de blaadjes aan een stengel en hoe ontstaat de regelmaat van een sparappel? We bekijken slechts de ordeningen. Men duidt die aan met de term fyllotaxis (grofweg: bladstand).

Fibonacci

Veertien jaar geleden vertelde iemand mij dat de rij van Fibonacci voorkomt in zeer veel planten. Ik kende de regelmaat van een ananas, maar niet die van een bloemkool, niet van de meeste kamerplanten en zeker niet die van een boom in de straat. Maar voordat ik toekwam aan nadenken hierover, stelde ik me een eenvoudig probleem: “ Hoe teken ik het patroon van een zonnebloemhoofd?” Door spiralen te tekenen in Fibonacci-aantallen kon ik iets bereiken, maar spoedig zat ik vast. Hoe en waar gingen spiralen over in andere, zoals de natuur dat toont? (figuur 3)Ik besloot mijn probleem anders te formuleren: “ Welke simpele meetkundige regel ligt ten grondslag aan het patroon van een zonnebloemhoofd?” In deze formulering ligt een stelling besloten: ik ging ervan uit dat de levende natuur zich bedient van een 'dode geometrie'. Dit lijkt een vanzelfsprekende stelling. Later zou echter blijken, hoe belangrijk die stelling was. Wanneer ik mijn probleem kon oplossen, dan bestond er een sterke aanwijzing dat erfelijkheid hier ondergeschikt was. Overigens, de rij van Fibonacci komt overvloedig voor en dan over de soorten heen. En verder: dat DNA hoeken en afstanden op zou slaan kwam mij absurd voor.

Ik wist dat biologen al vele jaren onderzoek doen naar het raadsel van de Fibonacci-structuren. Niet belast met een boekenkast vol vakliteratuur sprong ik in het diepe. Ik deed een volgende aanname, die essentieel zou blijken te zijn: 'Primordia verdringen elkaar tijdens hun ontstaan.' Primordia zijn plantedelen in aanleg, op de groeitop.

Toen ik deze oogkleppen opdeed, besefte ik dat regelmatige patronen ontstaan vanuit de meest elementaire en minuscule recepten. Hoe simpeler een regel en hoe vaker die kan worden toegepast, des te aannemelijker is die regel als veroorzaker van een natuurlijk patroon. Ik stelde een overzicht samen van de eerste stappen in het groeiproces van de zonnebloem. De grootte van een tijdsstap in het proces koos ik zodanig, dat elke nieuwe tekening precies een element (zonnepit) meer bevatte dan de voorafgaande. Preciezer gezegd: in de gekozen tijdsstap groeide een element zoveel, dat het de grootte kreeg van zijn voorganger. Ik tekende groeistructuren via een aantal plaatjes met cirkels. De cirkel is de eenvoudigste vorm, die staat voor een element of een gebied van cellen.

Spoedig deed ik een volgende belangrijke vaststelling. Een structuur, hoe complex en op welk tijdstip ook, paste precies binnen elke navolgende (self-similarity). De tekening moest daarvoor steeds worden gedraaid over een zekere hoek. Het nieuwe inzicht maakte het mogelijk, een structuur te tekenen in een enkele figuur als een optelling en niet via een groot aantal figuren als een film. Door stelselmatig enkele keuzeprincipes te volgen ontstonden spiralen in Fibonacci-aantallen.

Ik begon te werken aan een eenvoudige wiskundige formule (algoritme). Zo zou ik een computer kunnen voeden met een programma. Het lukte een rekenmodel te ontwikkelen. In de zomer van 1985 verschenen op het scherm van een eenvoudige computer vele onregelmatige gezwellen, opgebouwd uit cirkels. Uiteindelijk was het raak, de eerste spiralen ontstonden. De rij van Fibonacci ontstond. In het vertrouwen dat ik iets nieuws had bedacht, ontwikkelde ik verder. Tenslotte wilde ik weten wat de status was van mijn model.

Als leek probeerde ik me daarom een weg te banen door de literatuur over de Fibonacci-fyllotaxis. Het bleek dat er in het begin van deze eeuw veel belangstelling voor was (Church, Cook, Van Iterson, Schoute, Schuepp, Thompson e.a.). Het probleem raakte op de achtergrond en de draad werd weer opgenomen rond 1960 (Adler, Davis, Erickson, Lindenmayer, Meicenheimer, Vogel, Williams e.a.).

Het was overduidelijk: hoe nauwkeurig men ook waarnam en optekende, verder dan grafieken, schema's en formules kwam men niet. Anders gezegd: men nam waar dat de hoek tussen twee na elkaar ontstane zonnepitten gemiddeld 137, 5 is (figuur 4), om vervolgens deze hoek als uitgangspunt te nemen voor een constructiemodel. De hoek werd niet gezien als een gevolg, maar als een oorzaak. Men kon de hoek nooit verklaren. Men zocht naar een wiskundige formule, die eventueel zeer ingewikkeld mocht zijn en voor elk pitje op een zonnebloemhoofd de plaats zou aangeven.

Men slaagde er wel in, met enige trucs en beperkingen een zonnebloemachtige structuur te tekenen, met als uitgangspunt de bewuste hoek. Maar men slaagde er niet in een structuur te varieren volgens een natuurlijke groeifunctie. En men kwam niet op een acceptabele manier 'uit het platte vlak': een stengel met bladeren die op een specifieke manier gegroepeerd zijn, was slechts met kunstgrepen te construeren.

Omdat ik het idee kreeg dat mijn oplossing echt iets nieuws was, zocht ik de bevestiging van een autoriteit op dit gebied. Aristid Lindenmayer, hoogleraar theoretische biologie aan de Rijksuniversiteit Utrecht, is de grondlegger van de zogenaamde L-systems. L-systems zijn bouwstenen (zoals vertakkingen en knoppen) die volgens zekere algoritmen in een model groeiende structuren genereren.

Lindenmayer erkende de oorspronkelijkheid van het nieuwe model en zette zijn schouders onder mijn produkt. Hij legde mij tijdens het bijschaven van de theorie enkele problemen voor die nog nooit waren opgelost. Het model werd ze alle de baas en het werd gaandeweg universeler, maar ook eenvoudiger. Het bleef niet bij het zonnebloemhoofd; het bleef niet bij Fibonacci. Er ontstond een wetenschappelijke versie en in juli 1990 publiceerde het vaktijdschrift 'Mathematical Biosciences' het volledig.

Deelbloemkooltjes

Het onderscheiden van regelmaat is een kwestie van juist interpreteren van een waarneming - men hoeft geen bioloog of wiskundige te zijn. Waar de natuur zeer veel kleine elementen opeenpakt, is het eenvoudig om structuren te zien. Een bloemkool toont een groot aantal deel-bloemkooltjes. Deze zijn geordend volgens spiralen. Onder strijklicht is dit duidelijk waar te nemen. De deelbloemkooltjes zijn opgebouwd uit weer kleinere deelbloemkooltjes, eveneens geordend volgens spiralen. Dit gaat zo door tot de bouwsteen, die in dit geval met het blote oog waarneembaar is. De fractale opbouw doet denken aan die van de varen.

De bloemkool toont haar regelmaat in een gebold oppervlak. Maar een rode kool is gedrongen en moet horizontaal (dus dwars door de stengel) worden doorgesneden. Pluk het grootste, buitenste blad weg en daarna het een na grootste. De beide bladeren maken ongeveer de hoek van 137, 5 van bovenaf gezien, met elkaar. Deze hoek is dus gevolg van fyllotaxis die resulteert in Fibonacci-getallen. De getallen op zich zijn in dit geval niet eenvoudig na te trekken: daartoe zou men de kool volledig moeten afpellen en de stengel moeten bekijken.

Hoe moet men die stengel dan bekijken? De aanhechtpunten op de stengel kan men zien als punten op helices (spiralen op een cilinder, als een schroef). Omdat de punten vaak relatief ver uiteen staan is voor het zien van helices oefening nodig. Men moet al kijkend doorverbinden en extrapoleren. Dat is gemakkelijk bij ananas, sparappel en menige vetplant.

Bloemhoofden tonen duidelijke, praktisch vlakke spiralen. Voorbeelden zijn zonnebloem, margriet, kamille, gerbera. Stengels zijn moeilijker. Is de plant niet 'plat' (als bij de gladiool), is de plant geen varen (die zich ontkrult), is er geen sprake van in gordels geordende bladeren (als bij de paardestaart), is er geen tegenoverstaande bladstand (eventueel 90 verspringend, zoals bij de brandnetel)? Kortweg: maakt de stengel met bladeren een onregelmatige indruk, dan is de fyllotaxis zeer vaak volgens helices in aantallen van Fibonacci. Dit is te controleren door een willekeurig blad te beschouwen en het eerstvolgende blad erboven of eronder. De twee bladeren maken de bekende hoek met elkaar.

Een plant met een bloemhoofd dat Fibonacci-getallen toont, voldoet geheel aan deze fyllotaxis. Maar de aantallen spiralen van pitjes op het relatief grote bloemhoofd zijn groter dan de aantallen helices van bladeren op de stengel. De termen uit de reeks zijn dus lager voor de stengel dan voor het bloemhoofd.

Bomen hebben een jarenlange ontwikkeling doorgemaakt. Meestal is de groei daardoor onregelmatig en zijn sommige takken niet tot wasdom gekomen of afgerukt. Maar desondanks is toch vaak een Fibonacci-fyllotaxis te ontdekken.

Veel planten keren hun bladeren in de richting van het zon- of daglicht. Bij veel bodembedekkers en klimplanten lijken de bladeren symmetrisch aan de stengel te zijn gehecht. Pas bij nauwkeurig waarnemen onderscheidt men de kronkels, die de bladstelen moeten maken, om de Fibonacci-fyllotaxis te ontkennen.

Hier ligt een sterk tegenargument tegen de algemene aanname dat de 137, 5-hoek het gevolg is van een evolutie die leidt tot maximale lichtopvang. Neen, de waarheid is juist omgekeerd: tijdens het ontstaan van fyllotaxis wordt bij keuzes dat alternatief gekozen dat het totale systeem compact houdt, dus energetisch optimaal.

Prof.dr. A. Lindenmayer, die mij tot het laatst heeft geholpen, overleed in het najaar van 1989. Daarnaast dank ik prof.dr. F. van der Blij voor zijn kritiek en inspirerende opmerkingen.

Lezers kunnen in het bezit komen van een demonstratie-diskette van het model, toegankelijk via een Amiga-computer met minimaal 1 megabyte. Stort daartoe fl. 10, - op giro 3787497 t.n.v. F. van der Linden te Nuenen.