Vooruitgang door terugkoppeling; bekroonde regeltheoreticus W. M. Wonham over zijn vakgebied

De belangrijkste Nederlandse wiskunde-prijs is toegekend aan de Canadese regeltheoreticus W. M. Wonham. Over de wortels en vruchten van een weinig bekende loot van de toegepaste wiskunde.

Wat heeft de lichaamstemperatuur van een mens gemeen met de baan van een geleid projectiel? Dit: ze worden gecontroleerd door een regelsysteem, een stuurmechanisme dat voortdurend meet hoeveel de positie of de temperatuur afwijkt van een gewenste, vooraf ingestelde waarde, en dat op grond van die kennis vervolgens correcties uitvoert. Dit proces heet feedback of terugkoppeling.

Feedbackregulatie is een zo belangrijke techniek - toegepast in fabrieken en olieraffinaderijen, schepen en helikopters, CD-spelers en snelkookpannen, om maar enkele voorbeelden te noemen - dat ze onmogelijk uit de maatschappij valt weg te denken. Het is dan ook niet verwonderlijk dat er een hele tak van wetenschap bestaat, de systeem- en regeltheorie, die zich voornamelijk met het ontwerp en de vervolmaking van regelsystemen bezighoudt.

Een van 's werelds meest vooraanstaande regeltheoretici is de 56-jarige Canadees prof. dr. Walter M. Wonham. Zijn roem berust niet zo zeer op een enkele cruciale vondst of doorbraak, alswel op het feit dat hij al dertig jaar lang aan het front van de ontwikkelingen in zijn vakgebied heeft gestaan en daarbij een indrukwekkende serie bijdragen van zeer uiteenlopende aard heeft geleverd.

Eind vorige maand kwam Wonham even uit zijn woonplaats Toronto over naar Nederland. Hij deed dat om de Brouwer-medaille in ontvangst nemen, de belangrijkste wiskundeprijs in Nederland, genoemd naar de grote wiskundige L. E. J. Brouwer (1881-1966). De onderscheiding, die de winnaar krijgt na het houden van de zogeheten Brouwer-lezing, wordt slechts eenmaal in de drie jaar vergeven.

Dat juist Wonham werd uitverkoren is niet alleen te danken aan zijn eminentie, maar ook aan het feit dat zijn werk op de Nederlandse regeltheorie een grote invloed heeft gehad. Alle hoogleraren die zich in Nederland met regeltheorie bezighouden zijn, aldus het juryrapport, 'op de een of andere manier door zijn werk beinvloed'. Wonham: ' De regeltheorie staat een beetje tussen wiskunde en techniek in. In Noord-Amerika vind je de regeltheoretici vooral op de technische faculteiten, in Nederland en andere Europese landen zitten ze juist voornamelijk in wiskundige vakgroepen. Hoe het ook zij, de vooruitgang in het vakgebied is grotendeels te danken aan technologische en economische impulsen. Misschien dat een industrieel sterk ontwikkeld land als Nederland daarom ook internationaal zo'n vooraanstaande plaats inneemt. Nederland telt een zeer hoog aantal vooraanstaande systeemtheoretici, zowel absoluut gezien als per hoofd van de bevolking.'

Kuikenbroedstoof

Wat is een regelsysteem? Om te beginnen een systeem: een ' complex samenstel van onderdelen dat in elkaar is gezet of in de evolutie is ontstaan om een bepaalde functie uit te oefenen', zoals Wonham het uitdrukt. Voorbeelden van systemen zijn auto's, fabrieken, koeien en nationale economieen.

Een regelsysteem is een systeem dat informatie verzamelt over zijn eigen gedrag en die informatie vervolgens gebruikt om dat gedrag te corrigeren. In elk regelsysteem, aldus Wonham, kun je drie essentiele ingredienten onderscheiden. ' Ten eerste het gedrag dat in de hand gehouden moet worden, meestal de een of andere variabele zoals temperatuur, druk, aantal behandelde patienten, cashflow of wat u maar wilt. Ten tweede informatie over dat gedrag, verzameld door meetinstrumenten: thermometers, manometers, biosensoren, enqueteformulieren. De terugkoppeling bestaat eruit dat de informatie wordt vergeleken met de gewenste toestand. Het verschil tussen die twee leidt tot correctiemaatregelen, uitgevoerd met de derde ingredient: de een of andere kracht: het activeren van een dempinstallatie, het lekken van een ventiel, enzovoort.' Primitieve vormen van feedbackregulatie kwamen al voor in de klassieke Oudheid, bij de Chinezen en in de Renaissance. Maar het eerste echte feedbacksysteem in de Westelijke wereld dateert van rond 1600. Wonham: ' Het is uitgevonden door uw landgenoot Cornelis Drebbel, een alchemist uit Alkmaar die net als zijn collega's lood in goud wilde veranderen, maar daarvoor een fornuis meende nodig te hebben waarvan de temperatuur over zeer lange tijd uiterst constant kan worden gehouden.' Drebbel (1572-1633) woonde en werkte het grootste deel van zijn leven aan het Engelse hof. Hoewel hij zelf niets publiceerde, werd hij als vindingrijk experimentator hogelijk geprezen door prominente tijdgenoten, onder wie Francis Bacon, Robert Boyle, Constantijn Huygens en Peter Paul Rubens. Drebbel was onder meer de trotse uitvinder van een 'perpetuum mobile' en een onderzeeboot. Daarnaast was hij, bekwaam in het slijpen van lenzen, een der eerste bouwers van sterrenkijkers en microscopen. Maar zijn belangrijkste vinding was toch wel de thermostaat waarmee hij zijn alchemisch fornuis uitrustte. Het principe was even simpel als doeltreffend. De temperatuur in stoof en fornuis werd gemeten met een thermometer; op de kwikkolom daarvan dreef een staafje; wanneer het kwik te hoog rees, bewoog het staafje een hefboompje, verbonden met een demper; als gevolg hiervan werd het vuur getemperd en, bij voldoende brandstof en lucht, constant gehouden. Drebbel is er uiteraard nooit in geslaagd om op zijn fornuis lood in goud te veranderen. Wel hebben zijn schoonzoons de uitvinding toegepast in een broedstoof voor kuikens - prozaischer, nuttiger en wellicht ook winstgevender.

Volgens Otto Mayr, een historicus gespecialiseerd in feedbackregulatie, is de causale keten in Drebbels feedback-lus veel te lang om bij toeval te kunnen zijn gevonden en moet de uitvinder zich zeer goed van het principe van feedbackregulatie bewust zijn geweest alvorens hij het in de praktijk toepaste.

Stoomregulateur

Kan men Drebbels thermostaat beschouwen als het begin van de moderne regeltechniek, het duurde - ontwikkelingen in de windmolenbouw daargelaten - tot de industriele revolutie eer deze techniek ook op grote schaal zijn intrede deed, vooral in de stoommachine.

De komst van de stoommachine introduceerde het eerste grote industriele regelprobleem: hoe houdt men de snelheid van de machine constant, ondanks variaties in stoomdruk en belasting. De oplossing kwam in 1788 met de stoomregulateur van James Watt, een dubbele centrifugale slinger gekoppeld aan het vliegwiel dat de snelheid mat en de stoomtoevoer dichtkneep naarmate die hoger opliep. In de praktijk werkte dit elegante reguleringssysteem uitstekend, het trok de aandacht van de internationale ingenieurswereld en het werd al gauw universeel toegepast. Maar van een goed gefundeerd theoretisch inzicht was op dat moment nog lang geen sprake. Wonham: ' Men had nog geen werkelijk begrip van de principes in formele, wiskundige zin. Dat begon pas te dagen rond de helft van de negentiende eeuw. Enkele pioniers ontwikkelden een wiskundige beschrijving voor het regelproces en ze ontdekten wat nog steeds een van de centrale problemen is bij alle feed-backregulatie: instabiliteit. Instabiliteit is het resultaat van overreactie. De correctie is te groot en te abrupt, waardoor je te controleren variabele niet keurig constant blijft maar wild gaat oscilleren, hetgeen soms tot catastrofes leidt. Bij elk regelsysteem werken gevoeligheid en stabiliteit recht tegen elkaar in en moet je altijd een compromis sluiten. Voer je de gevoeligheid op dan neemt weliswaar het nuttig effect toe maar ben je ook veel kwetsbaarder voor instabiliteit. De keuze is nooit standaard, maar hangt af van je specificaties. Een voorbeeld is de F-16, een uiterst wendbaar en flexibel gevechtstoestel dat betrekkelijk makkelijk uit balans raakt. Een Boeing-747 daarentegen is een soort vliegend rotsblok, louter en alleen ontworpen op stabiliteit.' In 1868 publiceerde de beroemde Engelse fysicus James Clerk Maxwell een gedeeltelijk succesvolle wiskundige analyse van het stabiliteitsprobleem: met behulp van differentiaalvergelijkingen kon hij de kritische grenzen bepalen waar een systeem onstabiel wordt. Tegen het begin van de twintigste eeuw slaagden anderen erin om het stabiliteitsprobleem geheel mathematisch te beschrijven.

De veelvoud van problemen in de regeltheorie begon op dat moment pas werkelijk tot de onderzoekers door te dringen. Zo was er het probleem van de vertraging: wanneer de informatie over het systeem maar heel langzaam kan worden verzameld of overgebracht, komen de correcties te laat en zal het systeem gaan oscilleren of zijn stabiliteit totaal verliezen. Een voorbeeld is een automobilist op de weg met een paar biertjes te veel op: hij merkt te laat dat hij teveel naar links of naar rechts afwijkt en corrigeert dan te onbesuisd, waardoor de afwijking alleen maar groter wordt. Het resultaat is een karakteristieke zwabberende beweging, die in het ergste geval eindigt tegen de vangrail of aan de voet van een boom.

Telefoon

Wonham: ' Het is frappant, maar eigenlijk ook niet zo verwonderlijk dat doorbraken in de regeltheorie bijna altijd voortkomen uit de technologie. In de jaren twintig stuitte men in de Verenigde Staten bij de aanleg van lange-afstandstelefoonlijnen op het vraagstuk hoe men het signaal keer op keer moest versterken. De boosdoener was uiteraard ruis: de versterker, een vacuumbuis, gaf niet alleen de ruis van het versterkte signaal door, maar voegde daar ook nog eens extra eigen ruis aan toe. Wanneer men niets verzon, zou er aan het eind geen signaal meer overblijven. Ingenieurs bij Bell Labs ontdekten, dat je een perfecte versterking kreeg door de output van de versterker te vergelijken met de input en te corrigeren voor de fout. Dit feedback-principe wordt nog steeds in alle Hifi-apparatuur toegepast. ' Vormen technologie en geldelijk gewin steeds een krachtige impuls voor innovatie, oorlogen doen dat nog meer. In de Tweede Wereldoorlog zaten de Amerikanen met het probleem hoe ze hun luchtafweergeschut zo effectief mogelijk konden maken. De oplossing kwam al weer van de regeltheorie: met een feedback-volgsysteem voor vliegtuigen. Dit resultaat inspireerde weer tot nieuw en oorspronkelijk theoretisch werk na de oorlog, onder meer door de grote wiskundige Norbert Wiener (1894-1964). Wiener smeedde in 1947 een naam voor het inmiddels volwassen geworden vakgebied: cybernetica (naar het griekse woord voor stuurman, kubernetis, dat overigens via het latijnse gubernare leidde tot het engelse werkwoord to govern en tot het franse gouvernement). De term cybernetica was onder het publiek van een generatie terug een bekend begrip, maar valt tegenwoordig nauwelijks meer te beluisteren.

Wonham: ' Dat komt doordat het woord in diskrediet is gebracht. De cybernetica raakte in de jaren vijftig nogal in de mode en trok allerlei slag mensen aan, onder wie ook veel zwevers en kletsers. Er ontstond een pseudowetenschappelijk cybernetisch subcultuurtje, ook wel bekend oner de naam Algemene Systeemtheorie, dat noch op wiskundig, noch op technologisch gebied iets interessants te berde bracht. Eerlijke regeltechnici en -theoretici wilden daar niet bijhoren en noemden zich gewoon regelingenieurs. Het is jammer dat de naam 'cybernetica' zo eigenlijk weer is verdwenen, want het was een goede term. Alleen in Oost-Europa heeft de naam nog een goede klank. Overigens wist Wiener niet dat de Fransman Ampere al meer dan een eeuw eerder, in 1834, het woord cybernetique had bedacht als naam voor de wetenschappelijke bestuurskunde - een naam die overigens nooit is aangeslagen.'

Stroomversnelling

Cybernetica of geen cybernetica, de regeltheorie kwam rond 1960 opeens in een stroomversnelling. De prikkel kwam dit ook dit keer van een groot technologisch project: het ruimtevaartprogramma. Om de ruimtevaartuigen in de goede baan te brengen en te houden was een nog niet vertoonde graad van perfectie vereist, die nieuwe eisen stelde aan de regeltheorie. De nadruk kwam vooral te liggen op de optimalisering van systemen, dat wil zeggen: het ontwikkelen van kwantitatieve methoden om de afwijking tussen het gewenste en het werkelijke gedrag van het systeem door de tijd heen altijd zo klein mogelijk te maken.

Sinds de jaren zestig is de regeltheorie in een spiraalwedloop gewikkeld met de technologie: de regeltheoreticus ziet zich steeds opnieuw gesteld voor de vraag hoe hij nieuw aangeboorde krachten en mogelijkheden zo goed mogelijk kan toepassen en de steeds groeiende rekencapaciteit zo handig mogelijk benutten.

In de jaren zeventig verschoof het accent van kwantitatieve naar meer kwalitatieve vraagstukken. Wonham: ' Men ging zich meer en meer verdiepen in de architectuur van systemen, de manier waarop de samenstellende delen met elkaar samenhangen. Sommige regelsystemen hadden het bezwaar dat ze ook interferentie vertoonden met andere processen dan die waar ze voor waren bedoeld. Zulke koppeling tussen regelsytemen bestond bijvoorbeeld bij helikopters: de feedback-controle van de ene aerodynamische variabele veroorzaakte daar een verstoring in een andere, met alle problemen vandien. Door gedecentraliseerde architectuur hielp men deze onderlinge verstoringen uit de wereld.' De jaren tachtig stonden - hoe kan het anders - vooral in het teken van de computerrevolutie. Naarmate de computers in capaciteit groeiden, ging men zich steeds meer bezig houden met de vraag hoe de analoge fysische componenten van een regelsysteem het best aansluiten op de digitale taal van computers. De laatste jaren verschijnen er steeds meer 'samengestelde', hierachische systemen, met aan de top een computer die ja-of-nee beslissingen neemt en vervolgens conventionele, analoge regelsystemen activeert. Het resultaat is een complex geheel met verschillende soorten beschrijvingen op verschillende niveaus.

Wonham: ' De steeds toenemende rekencapaciteit van de computer geeft de regeltheorie uiteraard steeds ruimere mogelijkheden. Maar die mogelijkheden hebben pas nut als je ze ook werkelijk uitbuit. De meeste mensen denken dat nieuwe technologische hoogstandjes vooral een kwestie zijn van betere hardware - denk maar aan de publiciteit als er een nieuwe chip wordt geintroduceerd. Maar dat is een misvatting. Dat de Space Shuttle in zijn goede baan komt, ligt niet in de eerste plaats aan de kracht van de computer alswel aan de slimme regelalgoritmen waarmee hij is geprogrammeerd. Je zegt toch ook niet dat een auto op de weg blijft door de mechanische koppeling tussen het stuur en de wielen.'

Complexiteit

In de tegenwoordige regeltheorie staat nog steeds het simpele idee van feedback-regulering, zoals uitgevonden door Cornelis Drebbel, centraal. Toch houdt de discipline niet op uit te dijen in steeds verdere vertakkingen en verfijningen. Elke nieuwe techniek schept nieuwe mogelijkheden, elk praktisch vraagstuk brengt nieuwe problemen met zich mee. Een enkele, gesloten feedback-lus bezorgt de regeltheoreticus tegenwoordig weinig hoofdbrekens, maar in de werkelijkheid van fabrieken, vliegtuigen en organisaties lopen honderden, zo niet duizenden lussen in grote kluwens langs en door elkaar.

Wonham: ' Die complexiteit zie je goed in de vliegtuigbouw. Moderne toestellen als de Airbus zitten propvol regelsystemen. Complete vliegmanoeuvres zijn daarbij al van te voren ingeprogrammeerd. Men spreekt in dit verband van fly-by-wire technologie. Dank zij de regeltheorie kunnen er nu toestellen vliegen die anders zo instabiel zouden zijn dat ze linea recta zouden neerstorten. Er zit geen bovengrens aan de complexiteit van systemen en zelfs schijnbaar overzichtelijke systemen zitten vol onverwachte eigenschappen. Neem een middelgroot bedrijf, met organisatieniveaus die kriskras op elkaar inwerken. Er zijn management-wetenschappers die zo'n systeem met regeltheorie te lijf gaan en hun modellen kunnen net zo ingewikkeld zijn als die bij een olieraffinaderij of een F-16. Neem stabiliteit. Als de directeur een maand naar Amerika gaat, merkt niemand daar iets van. Maar wordt een secretaresse plotseling ziek, dan zorgt dat onmiddellijk voor stagnatie.' Als intermediare discipline kent de regeltheorie toepassingen in de techniek, de biologie, de sociologie en de economie (een typische regeltheoreticus in de econometrie is bij voorbeeld minister van onderwijs dr. ir. Jo Ritzen). Misschien juist dank zij deze universele toepasbaarheid wordt regeltheorie vaak afgedaan als een vorm van 'toegepaste wiskunde'. De denigrerende toon waarop dat gebeurt, kan Wonham wel eens irriteren. ' De regeltheorie is een dermate ontwikkeld vakgebied dat het allang geen zin meer heeft om een regeltheoreticus te vragen of hij een ingenieur is dan wel een wiskundige. Het onderscheid is volkomen vervaagd. Het enige dat je kunt opmerken is dat de ingenieurswereld van nu geweldig is verwiskundigd.' En wat bedoelt men eigenlijk met 'toegepaste wiskunde'? Ik vind dat een hoogst ongelukkige term. Voor het zelfde geld kun je een historicus een 'toegepast neerlandicus' noemen, wat heeft dat voor zin? De wiskunde is net als het Nederlands een levende taal. Ze wordt door sterk uiteenlopende groepen mensen gebruikt, veranderd en uitgebreid. De ontwikkeling van de wiskundige taal als geheel is even weinig afhankelijk van 'zuiver-wiskundigen' als de ontwikkeling van levend Nederlands van 'zuiver-neerlandici'!'