Belangrijk: Voor het goed functioneren van nrc.nl maken wij gebruik van cookies (meer informatie).
Hiervoor hebben wij wel eerst je toestemming nodig. Klik op de groene knop als je hiermee akkoord gaat.

Antwoord op de tweede #vrijdagmiddagvraag

door

Er kwamen veel reacties op de tweede #vrijdagmiddagvraag. Ook via twitter druppelden een paar oplossingen binnen – niet allemaal correct. Het goede antwoord moet zijn: de hoge toren staat op 18 voet van de fontein, de lagere op 32 voet.

Maar nog belangrijker: hoe bereken je dat? De vrijdagmiddagvraagredactie besloot de woorden van Fibonacci niet binnenstebuiten te keren (dus nee, de fontein is niet 35 voet hoog) en kwam met de volgende situatieschets:

De stelling van Pythagoras bood uitkomst. Omdat de afstand tussen de twee torentoppen en fontein is gelijk (de duiven vliegen immers tegelijkertijd met dezelfde snelheid weg en komen tegelijk bij de fontein aan), liet het probleem zich vangen in de volgende vergelijking:

402 + x2 = 302 + (50 – x)2

Oplossen geeft x = 18, wat betekent dat de kleinste toren 32 voet van de fontein verwijderd is.

Een bonuspunt gaat naar Marcel Hendrix, die de rij van Fibonacci in zijn (juiste) antwoord verwerkte.

Heeft u een andere oplossing bedacht? Laat het in de comments weten. Wij zijn vooral benieuwd naar de oplossing van informania, die het Middeleeuwse probleem met ‘een simpele breuk en aanvullende som’ te lijf ging.

Geplaatst in:
Vrijdagmiddagvraag
Wiskunde
Lees meer over:
fibonacci
Middeleeuwen

12 reacties op 'Antwoord op de tweede #vrijdagmiddagvraag'

Catena

Zie http://www.maa.org/mathland/mathtrek_10_21_02.html
voor een èchte toren met een èchte fontein mèt Fibonacci.
(geen link met het vraagstuk zelf, maar wèl met de context!)

Lucas Brouwers

Erg leuke toevoeging. Dank!

guusb

waarschijnlijk minder fraai maar wel effectief:
als de torens even hoog waren geweest zouden de vogels erkaar in het midden getroffen hebben (25m)
aangezien de torens zich als 3:4 verhouden wordt dit dus 3/4×25 voor de hoogte toren en 4/3×25 voor de laagste
dit resulteert in 18,75 en 33,32 meter
dit is meer dan 50, dus intrapoleren het naar totaal 50
resulteert 18 en 32 meter
pytagoras alleen ter kontrole levert de gevlogen afstand van 43,86 meter (voet) op

guusb

sorry voor de vreemde leestekens: dit moet zijn 3/4 van 25 en 4/3 van 25

Peter Rottevanger

Er zijn twee varianten van de rij van Fibonacci. De ene begint met twee énen: 1, 1, 2, 3, 5 enz., de andere begint met 0, 1, 1, 2, 3, 5 enz. Als je de eerste variant neem is het antwoord van Erik Blodaks ook goed. Waarom krijgt hij geen bonuspunt?

j.loerakker

ik heb de flauwste goede oplossing. heb hier een grote snijmat op mijn bureau met ruitjes va een centimeter . even met een passer afmeten en voila: ook 18 en 32 cm(voeten). niet ingeniues maar wel het snelst 5 seconden. ik snap alleen niet waar en of je bij deze nieuwe goede oplossingen mag posten teneinde niets te verraden?

Stemerdink

De oplossing van Loerakker doet denken aan dat wat wij meer dan 50 jaar geleden op de universiteit ‘chemisch integreren’ noemden. Zet de te integreren functie uit op ruitjespapier, knip hem uit en weeg het. Weeg ook een standaardstuk van dat papier, bijv. 20 bij 20 ruitjes en je kunt direct de oppervlakte van het uitgeknipte stuk berekenen. De wiskundigen noemden dit ‘chemisch’ omdat chemici nauwkeurige balansen hadden en slechts geïnteresseerd waren in de uitkomst, niet in de feitelijke berekening. Of het inderdaad zo gebeurde, of dat het slechts een plagerijtje naar de chemici was weet ik niet…

Gesjeesd student

Aangezien ik alle rekenregels ben vergeten, heb ik het met wat doelloos redeneren geprobeerd.
Afgelegde afstand vogels=sqrt(Afstand vanaf toren1 naar fontein^2 + 40^2) = sqrt(afstand vanaf toren 2 naar fontein^2 + 30^2).
40^2(=1600) + afstand vanaf toren1 moet hetzelfde getal opleveren als 30^2(=900)+Afstand vantoren2. Het is nu een kwestie van verhoudingen: 1600 = 64% (1600-(900+1600)=1600/2500=0,64) en 900 is dan 36%. 0,36×50=18 en 0.64×50=32. Omdat de 1600(=hogere getal dan 900) bij de afstand vanaf toren 1 hoort, moet het kleinste getal (18 voet) bij die afstand horen. Dan hou je voor de andere afstand 32 voet over.
Nu ik het zo opschrijf, krijg ik weer medelijden met mijn wiskundeleraren van de middelbare school. Het is (voor mij intuïtief), maar waarom klopt het wiskundig ook?

Gesjeesd student

Ah, de formules worden niet goed weergegeven. Ik bedoel natuurlijk: de totale afstand tussen de twee torens is 50 voet. 0.36 x 50 voet = 18 voet en 0.64 x 50 voet = 32 voet. Excuses

j.loerakker

haha, dat “chemisch rekenen” van stemerdink kende ik niet.overigens heb ik net als gesjeesde student al mijn wiskunde van de hbs vergeten want nooit meer gebruikt in mijn verdere bestaan. ntuurkunde ,scheikunde ed weet ik nog wel want concreter en ik lees er ook over…dat probleem zullen er wel meer hier hebben.

Jozef Mindelman

Ik kom op x = 18 + h/5

Waarbij h de hoogte van de fontein is.

Jan Verheijen

Pas vandaag ontdekte ik dat het embargo op de oplossing opgeheven is, daarom hierbij mijn ‘meetkundige’ oplossing. Vanuit de top van de torens heb ik een lijn getrokken en vanuit het midden van die lijn een loodlijn. Deze heb ik naar de, mij dierbare, 50 meter brede Italiaanse bodem doorgetrokken. Dit alles bij gebrek aan passer eenvoudig in het programma Sketchup. In plaats van de maat ‘voet’ in dit programma, gebruikte ik meters, maar de getallen blijven natuurlijk gelijk.

http://dl.dropbox.com/u/17410840/nrc.jpg

Reageer op 'Antwoord op de tweede #vrijdagmiddagvraag'

Op deze site gelden onze huisregels. U kunt een gravatar gebruiken.